ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.37 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y = 1,5 \left( \cos \frac{9x + 10\pi}{6} + \cos \frac{9x — 10\pi}{6} \right)$;

б) $y = 2 \left( \sin \frac{9x + 2\pi}{3} + \sin \frac{9x — 2\pi}{3} \right)$

а) $y = 1,5 \left( \cos \frac{9x + 10\pi}{6} + \cos \frac{9x — 10\pi}{6} \right)$;

$y = 1,5 \cdot 2 \cos \frac{(9x + 10\pi) + (9x — 10\pi)}{2 \cdot 6} \cdot \cos \frac{(9x + 10\pi) — (9x — 10\pi)}{2 \cdot 6}$;

$y = 3 \cos \frac{18x}{12} \cdot \cos \frac{20\pi}{12} = 3 \cos \frac{3x}{2} \cdot \cos \frac{5\pi}{3} = 3 \cos \frac{3x}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \cos \frac{3x}{2}$;

Построим одну дугу графика функции $y = \cos x$, а затем:

• Совершим ее сжатие к оси $Oy$ с коэффициентом $k = 1,5$;
• Совершим ее растяжение от оси $Ox$ с коэффициентом $k = 1,5$;

Достроим график функции:

б) $y = 2 \left( \sin \frac{9x + 2\pi}{3} + \sin \frac{9x — 2\pi}{3} \right)$;

$y = 2 \cdot 2 \sin \frac{(9x + 2\pi) + (9x — 2\pi)}{2 \cdot 3} \cdot \cos \frac{(9x + 2\pi) — (9x — 2\pi)}{2 \cdot 3}$;

$y = 4 \sin \frac{18x}{6} \cdot \cos \frac{4\pi}{6} = 4 \sin 3x \cdot \cos \frac{2\pi}{3} = 4 \sin 3x \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) = -2 \sin 3x$;

Построим одну дугу графика функции $y = \sin x$, а затем:

• Совершим ее сжатие к оси $Oy$ с коэффициентом $k = 3$;
• Отразим ее относительно оси абсцисс;
• Совершим ее растяжение от оси $Ox$ с коэффициентом $k = 2$;

Достроим график функции:

а) $y = 1,5 \left( \cos \frac{9x + 10\pi}{6} + \cos \frac{9x — 10\pi}{6} \right)$

Шаг 1: Применим формулы приведения для суммы косинусов.

Известна формула для суммы косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

В данном случае, $A = \frac{9x + 10\pi}{6}$, а $B = \frac{9x — 10\pi}{6}$. Применим эту формулу:

$$y=1,5(\cos \frac{9x+10\pi }{6}+\cos \frac{9x-10\pi }{6})=1,5\cdot 2\cos \left(\frac{(9x+10\pi )+(9x-10\pi )}{12}\right)·\cdot$$

$$y = 1,5 \left( \cos \frac{9x + 10\pi}{6} + \cos \frac{9x — 10\pi}{6} \right) = 1,5 \cdot 2 \cos \left( \frac{\left( 9x + 10\pi \right) + \left( 9x — 10\pi \right)}{12} \right) \cdot \cos \left( \frac{\left( 9x + 10\pi \right) — \left( 9x — 10\pi \right)}{12} \right)$$

Шаг 2: Упростим выражения в аргументах косинусов.

Теперь вычислим выражения в числителе и знаменателе.

Для первого косинуса:

$$\frac{\left( 9x + 10\pi \right) + \left( 9x — 10\pi \right)}{12} = \frac{9x + 9x + 10\pi — 10\pi}{12} = \frac{18x}{12} = \frac{3x}{2}$$

Для второго косинуса:

$$\frac{\left( 9x + 10\pi \right) — \left( 9x — 10\pi \right)}{12} = \frac{9x — 9x + 10\pi + 10\pi}{12} = \frac{20\pi}{12} = \frac{5\pi}{3}$$

Подставляем эти значения в исходное выражение:

$$y = 1,5 \cdot 2 \cos \frac{3x}{2} \cdot \cos \frac{5\pi}{3}$$

Шаг 3: Упростим коэффициенты.

Теперь у нас есть:

$$y = 3 \cos \frac{3x}{2} \cdot \cos \frac{5\pi}{3}$$

Поскольку $\cos \frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}$ (это стандартное значение косинуса на круге), подставляем это:

$$y = 3 \cos \frac{3x}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \cos \frac{3x}{2}$$

Шаг 4: Процесс преобразования графика.

Теперь рассмотрим график функции $y = \cos x$, и применим к нему нужные преобразования:

Сжатие вдоль оси $Oy$ с коэффициентом 1,5:

Умножение функции на коэффициент $k = 1,5$ растягивает график по оси $Oy$. Поскольку перед косинусом стоит множитель $1,5$, то амплитуда функции увеличится в 1,5 раза.

Растяжение вдоль оси $Ox$ с коэффициентом 1,5:

Умножение аргумента функции на коэффициент $k = 1,5$ растягивает график по оси $Ox$, что увеличивает период функции. В нашем случае аргумент функции $\cos \frac{3x}{2}$ означает, что период будет $\frac{2\pi}{3}$. Таким образом, период функции уменьшается в $\frac{2}{3}$ раза.

б) $y = 2 \left( \sin \frac{9x + 2\pi}{3} + \sin \frac{9x — 2\pi}{3} \right)$

Шаг 1: Применим формулы приведения для суммы синусов.

Существует аналогичная формула для суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

В данном случае $A = \frac{9x + 2\pi}{3}$ и $B = \frac{9x — 2\pi}{3}$. Подставляем эти выражения в формулу:

$$y=2(\sin \frac{9x+2\pi }{3}+\sin \frac{9x-2\pi }{3})=2\cdot 2\sin \left(\frac{(9x+2\pi )+(9x-2\pi )}{6}\right)\cdot$$

$$y = 2 \left( \sin \frac{9x + 2\pi}{3} + \sin \frac{9x — 2\pi}{3} \right) = 2 \cdot 2 \sin \left( \frac{\left( 9x + 2\pi \right) + \left( 9x — 2\pi \right)}{6} \right) \cdot \cos \left( \frac{\left( 9x + 2\pi \right) — \left( 9x — 2\pi \right)}{6} \right)$$

Шаг 2: Упростим выражения в аргументах синуса и косинуса.

Для первого синуса:

$$\frac{\left( 9x + 2\pi \right) + \left( 9x — 2\pi \right)}{6} = \frac{9x + 9x + 2\pi — 2\pi}{6} = \frac{18x}{6} = 3x$$

Для косинуса:

$$\frac{\left( 9x + 2\pi \right) — \left( 9x — 2\pi \right)}{6} = \frac{9x — 9x + 2\pi + 2\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$$

Теперь подставим эти значения:

$$y = 4 \sin 3x \cdot \cos \frac{2\pi}{3}$$

Шаг 3: Упростим значение косинуса.

Значение $\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$. Подставляем это:

$$y = 4 \sin 3x \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) = -2 \sin 3x$$

Шаг 4: Процесс преобразования графика.

Теперь рассмотрим график функции $y = \sin x$ и применим к нему следующие преобразования:

Сжатие вдоль оси $Oy$ с коэффициентом 3:

Умножение функции на коэффициент $k = 3$ растягивает график по оси $Oy$, увеличивая амплитуду функции в 3 раза. Но в нашем случае на синусе стоит коэффициент $-2$, что не только сжимает его на 2, но и отражает его относительно оси абсцисс.

Отражение относительно оси абсцисс:

Множитель $-2$ перед функцией отражает график функции $y = \sin x$ относительно оси абсцисс.

Растяжение вдоль оси $Ox$ с коэффициентом 2:

Умножение аргумента функции на коэффициент $k = 3$ растягивает график по оси $Ox$, увеличивая период функции в 3 раза. Таким образом, период функции увеличивается.