ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Представьте в виде произведения:

а) $\sin 3t-\sin t$

б) $\cos (a-2\beta )-\cos (a+2\beta )$

в) $\cos 6t+\cos 4t$

г) $\sin (a-2\beta )-\sin (a+2\beta )$

Представить в виде произведения:

а) $\sin 3t — \sin t = 2 \sin \frac{3t — t}{2} \cdot \cos \frac{3t + t}{2} = 2 \sin \frac{2t}{2} \cdot \cos \frac{4t}{2} = 2 \sin t \cdot \cos 2t$;

б) $\cos (a-2\beta )-\cos (a+2\beta )=-2\sin \frac{(a-2\beta )+(a+2\beta )}{2}\cdot \sin \frac{(a-2\beta )-(a+2\beta )}{2}=$

$\cos(a — 2\beta) — \cos(a + 2\beta) = -2 \sin \frac{(a — 2\beta) + (a + 2\beta)}{2} \cdot \sin \frac{(a — 2\beta) — (a + 2\beta)}{2} = -2 \sin \frac{2a}{2} \cdot \sin \left(-\frac{4\beta}{2}\right) = 2 \sin a \cdot \cos 2\beta$;

в) $\cos 6t + \cos 4t = 2 \cos \frac{6t + 4t}{2} \cdot \cos \frac{6t — 4t}{2} = 2 \cos \frac{10t}{2} \cdot \cos \frac{2t}{2} = 2 \cos 5t \cdot \cos t$;

г) $\sin (a-2\beta )-\sin (a+2\beta )=2\sin \frac{(a-2\beta )-(a+2\beta )}{2}\cdot \cos \frac{(a-2\beta )+(a+2\beta )}{2}=$

$\sin(a — 2\beta) — \sin(a + 2\beta) = 2 \sin \frac{(a — 2\beta) — (a + 2\beta)}{2} \cdot \cos \frac{(a — 2\beta) + (a + 2\beta)}{2} = 2 \sin \left(-\frac{4\beta}{2}\right) \cdot \cos \frac{2a}{2} = -2 \sin 2\beta \cdot \cos a$

а) $\sin 3t — \sin t$

Для преобразования разности синусов воспользуемся формулой для разности синусов:

$$\sin A — \sin B = 2 \sin \left(\frac{A — B}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{A + B}{2}\right)$$

Здесь $A = 3t$ и $B = t$, подставим в формулу:

$$\sin 3t — \sin t = 2 \sin \left(\frac{3t — t}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{3t + t}{2}\right)$$

Выполним вычисления внутри синуса и косинуса:

$$\frac{3t — t}{2} = \frac{2t}{2} = t, \quad \frac{3t + t}{2} = \frac{4t}{2} = 2t$$

Таким образом, выражение упрощается:

$$\sin 3t — \sin t = 2 \sin t \cdot \cos 2t$$

Это и есть искомое представление в виде произведения.

б) $\cos(a — 2\beta) — \cos(a + 2\beta)$

Здесь применим формулу для разности косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin \left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Подставим $A = a — 2\beta$ и $B = a + 2\beta$:

$$\cos(a — 2\beta) — \cos(a + 2\beta) = -2 \sin \left(\frac{(a — 2\beta) + (a + 2\beta)}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{(a — 2\beta) — (a + 2\beta)}{2}\right)$$

Вычислим выражения внутри синусов:

$$\frac{(a — 2\beta) + (a + 2\beta)}{2} = \frac{2a}{2} = a, \quad \frac{(a — 2\beta) — (a + 2\beta)}{2} = \frac{-4\beta}{2} = -2\beta$$

Таким образом, выражение становится:

$$\cos(a — 2\beta) — \cos(a + 2\beta) = -2 \sin a \cdot \sin(-2\beta)$$

С учетом свойства синуса (он не меняется при смене знака аргумента: $\sin(-x) = -\sin(x)$):

$$= -2 \sin a \cdot (-\sin 2\beta) = 2 \sin a \cdot \sin 2\beta$$

Теперь, используя формулу для синуса сдвига:

$$\sin x \cdot \sin y = \frac{1}{2} \left[ \cos(x — y) — \cos(x + y) \right]$$

представим произведение в виде суммы.

в) $\cos 6t + \cos 4t$

Для этой задачи применим формулу для суммы косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos \left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Подставим $A = 6t$ и $B = 4t$:

$$\cos 6t + \cos 4t = 2 \cos \left(\frac{6t + 4t}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{6t — 4t}{2}\right)$$

Выполним вычисления внутри косинусов:

$$\frac{6t + 4t}{2} = \frac{10t}{2} = 5t, \quad \frac{6t — 4t}{2} = \frac{2t}{2} = t$$

Таким образом, выражение упрощается:

$$\cos 6t + \cos 4t = 2 \cos 5t \cdot \cos t$$

Это и есть искомое представление в виде произведения.

г) $\sin(a — 2\beta) — \sin(a + 2\beta)$

Для разности синусов снова используем формулу для разности синусов:

$$\sin A — \sin B = 2 \sin \left(\frac{A — B}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{A + B}{2}\right)$$

Здесь $A = a — 2\beta$ и $B = a + 2\beta$, подставим в формулу:

$$\sin(a — 2\beta) — \sin(a + 2\beta) = 2 \sin \left(\frac{(a — 2\beta) — (a + 2\beta)}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{(a — 2\beta) + (a + 2\beta)}{2}\right)$$

Вычислим выражения внутри синуса и косинуса:

$$\frac{(a — 2\beta) — (a + 2\beta)}{2} = \frac{-4\beta}{2} = -2\beta, \quad \frac{(a — 2\beta) + (a + 2\beta)}{2} = \frac{2a}{2} = a$$

Таким образом, выражение становится:

$$\sin(a — 2\beta) — \sin(a + 2\beta) = 2 \sin(-2\beta) \cdot \cos a$$

С учетом того, что $\sin(-2\beta) = -\sin(2\beta)$, получаем:

$$= 2 (-\sin 2\beta) \cdot \cos a = -2 \sin 2\beta \cdot \cos a$$

Итак, итоговое представление:

$$\sin(a — 2\beta) — \sin(a + 2\beta) = -2 \sin 2\beta \cdot \cos a$$

Итог:

1. $\sin 3t — \sin t = 2 \sin t \cdot \cos 2t$
2. $\cos(a — 2\beta) — \cos(a + 2\beta) = 2 \sin a \cdot \sin 2\beta$
3. $\cos 6t + \cos 4t = 2 \cos 5t \cdot \cos t$
4. $\sin(a — 2\beta) — \sin(a + 2\beta) = -2 \sin 2\beta \cdot \cos a$