ГДЗ Мордкович 10 Класс Профильный Уровень по Алгебре Задачник 📕 — Все Части

Алгебра Профильный Уровень

10 класс задачник профильный уровень Мордкович

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.

Год

2015-2020.

Издательство

Мнемозина.

Описание

Задачник «Алгебра. 10 класс» под авторством А.Г. Мордковича — это один из самых популярных учебных материалов для старшеклассников, изучающих алгебру на профильном уровне. Книга давно зарекомендовала себя как надежный помощник в подготовке к экзаменам и олимпиадам, а также в углубленном изучении математики.

ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.7 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Задача

Представьте в виде произведения:

а) $\frac{1}{2} - \cos t$

б) $\frac{\sqrt{3}}{2} + \sin t$

в) $1 + 2 \cos t$

г) $\cos t + \sin t$

Краткий ответ:

а) $\frac{1}{2} - \cos t = \cos \frac{π}{3} - \cos t = - 2 \sin \frac{π + t}{2} \cdot \sin \frac{π - t}{2} = 2 \sin (\frac{t}{2} + \frac{π}{6}) \cdot \sin (\frac{t}{2} - \frac{π}{6});$

б) $\frac{\sqrt{3}}{2} + \sin t = \sin \frac{π}{3} + \sin t = 2 \sin \frac{t + π}{2} \cdot \cos \frac{t - π}{2} = 2 \sin (\frac{t}{2} + \frac{π}{6}) \cdot \cos (\frac{t}{2} - \frac{π}{6});$

в) $1 + 2 \cos t = 2 (\frac{1}{2} + \cos t) = 2 (\cos \frac{π}{3} + \cos t) = 2 \cdot 2 \cos \frac{t + π}{2} \cdot \cos \frac{t - π}{2} =$

$= 4 \cos (\frac{t}{2} + \frac{π}{6}) \cdot \cos (\frac{t}{2} - \frac{π}{6});$

г) $\cos t + \sin t = \sin (\frac{π}{2} - t) + \sin t = 2 \sin \frac{t + (\frac{π}{2} - t)}{2} \cdot \cos \frac{t - (\frac{π}{2} - t)}{2} =$

$= 2 \sin \frac{π}{4} \cdot \cos (t - \frac{π}{4}) =$

$= 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2} + (t - \frac{π}{4})) = \sqrt{2} \sin (t + \frac{π}{4});$

Подробный ответ:

а) $\frac{1}{2} - \cos t$

Начнем с первого выражения:

$\frac{1}{2} - \cos t$

Преобразуем $\frac{1}{2}$ в $\cos \frac{π}{3}$ , так как $\cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ . Таким образом:

$\frac{1}{2} - \cos t = \cos \frac{π}{3} - \cos t$

Теперь применим формулу для разности косинусов:

$\cos α - \cos β = - 2 \sin \frac{α + β}{2} \cdot \sin \frac{α - β}{2}$

Заменим $α = \frac{π}{3}$ и $β = t$ :

$\cos \frac{π}{3} - \cos t = - 2 \sin \frac{\frac{π}{3} + t}{2} \cdot \sin \frac{\frac{π}{3} - t}{2}$

Упростим выражение в синусах. Применяем:

$\frac{\frac{π}{3} + t}{2} = \frac{π + 3 t}{6}$

и

$\frac{\frac{π}{3} - t}{2} = \frac{π - 3 t}{6}$

Тогда:

$\cos \frac{π}{3} - \cos t = - 2 \sin (\frac{π + t}{2}) \cdot \sin (\frac{π - t}{2})$

Далее используем формулу для синуса разности:

$\sin (\frac{π + t}{2}) \cdot \sin (\frac{π - t}{2})$

Преобразуем в произведение синусов:

$= 2 \sin (\frac{t}{2} + \frac{π}{6}) \cdot \sin (\frac{t}{2} - \frac{π}{6})$

Таким образом, окончательно получаем:

$\frac{1}{2} - \cos t = 2 \sin (\frac{t}{2} + \frac{π}{6}) \cdot \sin (\frac{t}{2} - \frac{π}{6})$

б) $\frac{\sqrt{3}}{2} + \sin t$

Теперь перейдем ко второму выражению:

$\frac{\sqrt{3}}{2} + \sin t$

Преобразуем $\frac{\sqrt{3}}{2}$ в $\sin \frac{π}{3}$ , так как $\sin \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Получаем:

$\frac{\sqrt{3}}{2} + \sin t = \sin \frac{π}{3} + \sin t$

Применяем формулу для суммы синусов:

$\sin α + \sin β = 2 \sin \frac{α + β}{2} \cdot \cos \frac{α - β}{2}$

Заменяем $α = \frac{π}{3}$ и $β = t$ :

$\sin \frac{π}{3} + \sin t = 2 \sin \frac{\frac{π}{3} + t}{2} \cdot \cos \frac{\frac{π}{3} - t}{2}$

Упростим выражение в синусах и косинусах. Применяем:

$\frac{\frac{π}{3} + t}{2} = \frac{π + 3 t}{6}$

и

$\frac{\frac{π}{3} - t}{2} = \frac{π - 3 t}{6}$

Тогда:

$\sin \frac{π}{3} + \sin t = 2 \sin (\frac{t}{2} + \frac{π}{6}) \cdot \cos (\frac{t}{2} - \frac{π}{6})$

Таким образом, окончательно получаем:

$\frac{\sqrt{3}}{2} + \sin t = 2 \sin (\frac{t}{2} + \frac{π}{6}) \cdot \cos (\frac{t}{2} - \frac{π}{6})$

в) $1 + 2 \cos t$

Теперь перейдем к третьему выражению:

$1 + 2 \cos t$

Преобразуем $1$ в $2 \cdot \frac{1}{2}$ , так как $\frac{1}{2} + \cos t = \cos \frac{π}{3} + \cos t$ . Получаем:

$1 + 2 \cos t = 2 (\frac{1}{2} + \cos t)$

Применяем формулу для суммы косинусов:

$\cos α + \cos β = 2 \cos \frac{α + β}{2} \cdot \cos \frac{α - β}{2}$

Заменяем $α = \frac{π}{3}$ и $β = t$ :

$\frac{1}{2} + \cos t = \cos \frac{π}{3} + \cos t = 2 \cos \frac{\frac{π}{3} + t}{2} \cdot \cos \frac{\frac{π}{3} - t}{2}$

Упростим выражение в косинусах. Применяем:

$\frac{\frac{π}{3} + t}{2} = \frac{π + 3 t}{6}$

и

$\frac{\frac{π}{3} - t}{2} = \frac{π - 3 t}{6}$

Тогда:

$\frac{1}{2} + \cos t = 2 \cos (\frac{t}{2} + \frac{π}{6}) \cdot \cos (\frac{t}{2} - \frac{π}{6})$

Умножаем на 2:

$1 + 2 \cos t = 4 \cos (\frac{t}{2} + \frac{π}{6}) \cdot \cos (\frac{t}{2} - \frac{π}{6})$

г) $\cos t + \sin t$

Перейдем к последнему выражению:

$\cos t + \sin t$

Преобразуем $\cos t + \sin t$ через сумму синусов:

$\cos t + \sin t = \sin (\frac{π}{2} - t) + \sin t$

Применяем формулу для суммы синусов:

$\sin α + \sin β = 2 \sin \frac{α + β}{2} \cdot \cos \frac{α - β}{2}$

Заменяем $α = \frac{π}{2} - t$ и $β = t$ :

$\sin (\frac{π}{2} - t) + \sin t = 2 \sin \frac{\frac{π}{2} - t + t}{2} \cdot \cos \frac{t - (\frac{π}{2} - t)}{2}$

Упростим выражение в синусах и косинусах:

$\frac{\frac{π}{2} - t + t}{2} = \frac{π}{4}$

и

$\frac{t - (\frac{π}{2} - t)}{2} = \frac{2 t - \frac{π}{2}}{2} = t - \frac{π}{4}$

Таким образом, получаем:

$\cos t + \sin t = 2 \sin \frac{π}{4} \cdot \cos (t - \frac{π}{4})$

$\sin \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , тогда:

$\cos t + \sin t = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2} + (t - \frac{π}{4}))$

Окончательно:

$\cos t + \sin t = \sqrt{2} \sin (t + \frac{π}{4})$

Оцени решение