ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.8 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Представьте в виде произведения:

а) $\sin 5x+2\sin 6x+\sin 7x$

б) $2\cos x+\cos 2x+\cos 4x$

а) $\sin 5x + 2\sin 6x + \sin 7x = 2\sin 6x + 2\sin \frac{7x+5x}{2} \cdot \cos \frac{7x-5x}{2} =$

$= 2\sin 6x + 2\sin 6x \cdot \cos x = 2\sin 6x \cdot (1 + \cos x) =$

$= 2\sin 6x \cdot (\cos 0 + \cos x) = 2\sin 6x \cdot 2\cos \frac{x+0}{2} \cdot \cos \frac{x-0}{2} =$

$= 4\sin 6x \cdot \cos^2 \frac{x}{2};$

б) $2\cos x + \cos 2x + \cos 4x = 2\cos x + 2\cos \frac{4x+2x}{2} \cdot \cos \frac{4x-2x}{2} =$

$= 2\cos x + 2\cos 3x \cdot \cos x = 2\cos x \cdot (1 + \cos 3x) =$

$= 2\cos x \cdot (\cos 0 + \cos 3x) = 2\cos x \cdot 2\cos \frac{3x+0}{2} \cdot \cos \frac{3x-0}{2} =$

$= 4\cos x \cdot \cos^2 \frac{3x}{2};$

а)

Нам нужно упростить выражение:

$$\sin 5x + 2\sin 6x + \sin 7x$$

Шаг 1: Используем формулу для суммы синусов

Начнем с того, что попробуем объединить $\sin 5x$ и $\sin 7x$, используя формулу для суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$$

Подставим $A = 7x$ и $B = 5x$:

$$\sin 7x + \sin 5x = 2 \sin \left( \frac{7x + 5x}{2} \right) \cos \left( \frac{7x — 5x}{2} \right)$$

Это можно упростить:

$$\sin 7x + \sin 5x = 2 \sin 6x \cos x$$

Шаг 2: Подставим в исходное выражение

Теперь подставим это в исходное выражение:

$$\sin 5x + 2\sin 6x + \sin 7x = 2\sin 6x \cos x + 2\sin 6x$$

Шаг 3: Вынесем общий множитель

Вынесем $2\sin 6x$ за скобки:

$$2\sin 6x (\cos x + 1)$$

Шаг 4: Применим формулу для удвоенного угла

Теперь можно заметить, что выражение $\cos x + 1$ можно переписать с использованием тригонометрической формулы для косинуса удвоенного угла:

$$\cos x + 1 = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$$

Подставим это в выражение:

$$2\sin 6x \cdot 2 \cos^2 \frac{x}{2} = 4 \sin 6x \cdot \cos^2 \frac{x}{2}$$

Итак, результат для первой части:

$$\sin 5x + 2\sin 6x + \sin 7x = 4 \sin 6x \cdot \cos^2 \frac{x}{2}$$

б)

Теперь рассмотрим второе выражение:

$$2\cos x + \cos 2x + \cos 4x$$

Шаг 1: Используем формулу для суммы косинусов

Объединим $\cos 2x$ и $\cos 4x$ с помощью формулы для суммы косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)$$

Подставим $A = 4x$ и $B = 2x$:

$$\cos 4x + \cos 2x = 2 \cos \left( \frac{4x + 2x}{2} \right) \cos \left( \frac{4x — 2x}{2} \right)$$

Это упростится до:

$$\cos 4x + \cos 2x = 2 \cos 3x \cos x$$

Шаг 2: Подставим в исходное выражение

Теперь подставим это в исходное выражение:

$$2\cos x + \cos 2x + \cos 4x = 2\cos x + 2\cos 3x \cos x$$

Шаг 3: Вынесем общий множитель

Вынесем $2\cos x$ за скобки:

$$2\cos x (1 + \cos 3x)$$

Шаг 4: Применим формулу для удвоенного угла

Теперь, как и в первом случае, мы можем применить формулу для косинуса удвоенного угла:

$$1 + \cos 3x = 2 \cos^2 \frac{3x}{2}$$

Подставим это в выражение:

$$2\cos x \cdot 2 \cos^2 \frac{3x}{2} = 4 \cos x \cdot \cos^2 \frac{3x}{2}$$

Итак, результат для второй части:

$$2\cos x + \cos 2x + \cos 4x = 4 \cos x \cdot \cos^2 \frac{3x}{2}$$

Итог:

1. $\sin 5x + 2\sin 6x + \sin 7x = 4 \sin 6x \cdot \cos^2 \frac{x}{2}$
2. $2\cos x + \cos 2x + \cos 4x = 4 \cos x \cdot \cos^2 \frac{3x}{2}$