ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.9 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Представьте в виде произведения:

а) $\sin t+\sin 2t+\sin 3t+\sin 4t$

б) $\cos 2t-\cos 4t-\cos 6t+\cos 8t$

а) $\sin t + \sin 2t + \sin 3t + \sin 4t = (\sin t + \sin 3t) + (\sin 2t + \sin 4t) =$

$= 2 \sin \frac{t+3t}{2} \cdot \cos \frac{3t-t}{2} + 2 \sin \frac{2t+4t}{2} \cdot \cos \frac{4t-2t}{2} =$

$= 2 \sin 2t \cdot \cos t + 2 \sin 3t \cdot \cos t = 2 \cos t \cdot (\sin 2t + \sin 3t) =$

$= 2 \cos t \cdot 2 \sin \frac{2t+3t}{2} \cdot \cos \frac{3t-2t}{2} = 4 \cos t \cdot \sin \frac{5t}{2} \cdot \cos \frac{t}{2}$;

б) $\cos 2t — \cos 4t — \cos 6t + \cos 8t = (\cos 2t + \cos 8t) — (\cos 4t + \cos 6t) =$

$= 2 \cos \frac{2t+8t}{2} \cdot \cos \frac{8t-2t}{2} — 2 \cos \frac{4t+6t}{2} \cdot \cos \frac{6t-4t}{2} =$

$= 2 \cos 5t \cdot \cos 3t — 2 \cos 5t \cdot \cos t = 2 \cos 5t \cdot (\cos 3t — \cos t) =$

$= 2 \cos 5t \cdot \left(-2 \sin \frac{3t+t}{2} \cdot \sin \frac{3t-t}{2}\right) = -4 \cos 5t \cdot \sin 2t \cdot \sin t$

а)

Нам нужно упростить выражение:

$$\sin t + \sin 2t + \sin 3t + \sin 4t$$

Шаг 1: Группировка членов

Прежде чем начать использование тригонометрических формул, сгруппируем синусы таким образом, чтобы они могли использоваться через стандартные идентичности:

$$(\sin t + \sin 3t) + (\sin 2t + \sin 4t)$$

Шаг 2: Применение формулы для суммы синусов

Для двух синусов вида $\sin A + \sin B$ существует следующая тригонометрическая идентичность:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{B — A}{2} \right)$$

Теперь применим эту формулу к каждому из членов:

Для $\sin t + \sin 3t$ имеем $A = t$ и $B = 3t$. Подставим в формулу:

$$\sin t + \sin 3t = 2 \sin \left( \frac{t + 3t}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{3t — t}{2} \right) = 2 \sin 2t \cdot \cos t$$

Для $\sin 2t + \sin 4t$ имеем $A = 2t$ и $B = 4t$. Подставим в формулу:

$$\sin 2t + \sin 4t = 2 \sin \left( \frac{2t + 4t}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{4t — 2t}{2} \right) = 2 \sin 3t \cdot \cos t$$

Шаг 3: Подстановка полученных выражений

Теперь подставим эти выражения обратно в исходное:

$$\sin t + \sin 2t + \sin 3t + \sin 4t = 2 \sin 2t \cdot \cos t + 2 \sin 3t \cdot \cos t$$

Шаг 4: Вынесение общего множителя

Здесь можно вынести общий множитель $2 \cos t$:

$$= 2 \cos t \cdot (\sin 2t + \sin 3t)$$

Шаг 5: Применение формулы для суммы синусов (еще раз)

Теперь применим формулу для суммы синусов к выражению $\sin 2t + \sin 3t$, где $A = 2t$ и $B = 3t$:

$$\sin 2t + \sin 3t = 2 \sin \left( \frac{2t + 3t}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{3t — 2t}{2} \right) = 2 \sin \frac{5t}{2} \cdot \cos \frac{t}{2}$$

Шаг 6: Подстановка в окончательное выражение

Теперь подставим это в выражение, полученное на предыдущем шаге:

$$2 \cos t \cdot (\sin 2t + \sin 3t) = 2 \cos t \cdot 2 \sin \frac{5t}{2} \cdot \cos \frac{t}{2}$$

Приведем к более простому виду:

$$= 4 \cos t \cdot \sin \frac{5t}{2} \cdot \cos \frac{t}{2}$$

Таким образом, окончательное упрощенное выражение:

$$\sin t + \sin 2t + \sin 3t + \sin 4t = 4 \cos t \cdot \sin \frac{5t}{2} \cdot \cos \frac{t}{2}$$

б)

Теперь рассмотрим выражение:

$$\cos 2t — \cos 4t — \cos 6t + \cos 8t$$

Шаг 1: Группировка членов

Для удобства сгруппируем косинусы так:

$$(\cos 2t + \cos 8t) — (\cos 4t + \cos 6t)$$

Шаг 2: Применение формулы для суммы косинусов

Для двух косинусов вида $\cos A + \cos B$ существует идентичность:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{B — A}{2} \right)$$

Теперь применим эту формулу к каждому из членов:

Для $\cos 2t + \cos 8t$ имеем $A = 2t$ и $B = 8t$. Подставим в формулу:

$$\cos 2t + \cos 8t = 2 \cos \left( \frac{2t + 8t}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{8t — 2t}{2} \right) = 2 \cos 5t \cdot \cos 3t$$

Для $\cos 4t + \cos 6t$ имеем $A = 4t$ и $B = 6t$. Подставим в формулу:

$$\cos 4t + \cos 6t = 2 \cos \left( \frac{4t + 6t}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{6t — 4t}{2} \right) = 2 \cos 5t \cdot \cos t$$

Шаг 3: Подстановка полученных выражений

Теперь подставим эти выражения обратно в исходное:

$$\cos 2t — \cos 4t — \cos 6t + \cos 8t = 2 \cos 5t \cdot \cos 3t — 2 \cos 5t \cdot \cos t$$

Шаг 4: Вынесение общего множителя

Здесь можно вынести общий множитель $2 \cos 5t$:

$$= 2 \cos 5t \cdot (\cos 3t — \cos t)$$

Шаг 5: Применение формулы для разности косинусов

Для разности косинусов $\cos A — \cos B$ существует идентичность:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{B — A}{2} \right)$$

Теперь применим эту формулу к выражению $\cos 3t — \cos t$, где $A = 3t$ и $B = t$:

$$\cos 3t — \cos t = -2 \sin \left( \frac{3t + t}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{t — 3t}{2} \right) = -2 \sin 2t \cdot \sin t$$

Шаг 6: Подстановка в окончательное выражение

Теперь подставим это в выражение, полученное на предыдущем шаге:

$$2 \cos 5t \cdot (\cos 3t — \cos t) = 2 \cos 5t \cdot \left(-2 \sin 2t \cdot \sin t\right)$$

Приведем к более простому виду:

$$= -4 \cos 5t \cdot \sin 2t \cdot \sin t$$

Таким образом, окончательное упрощенное выражение:

$$\cos 2t — \cos 4t — \cos 6t + \cos 8t = -4 \cos 5t \cdot \sin 2t \cdot \sin t$$