ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

а) $\sqrt{(3\sqrt{2}-2\sqrt{5}{)}^2}+3\sqrt{2}$;

б) $\sqrt{(2-\sqrt{7}{)}^2}+\sqrt{(3-\sqrt{7}{)}^2}$;

в) $\sqrt{(2\sqrt{15}-3\sqrt{7}{)}^2}-3\sqrt{7}$;

г) $\sqrt{(\sqrt{10}-3{)}^2}+\sqrt{(\sqrt{10}-4{)}^2}$

а) $\sqrt{(3\sqrt{2}-2\sqrt{5}{)}^2}+3\sqrt{2}$;

Сравним числа под знаком корня:

$$3\sqrt{2}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{18};$$$$2\sqrt{5}=\sqrt{4\cdot 5}=\sqrt{20};$$$$\sqrt{18}<\sqrt{20};$$$$\sqrt{18}-\sqrt{20}<0;$$$$3\sqrt{2}-2\sqrt{5}<0;$$

Найдем значение выражения:

$$\sqrt{(2\sqrt{5}-3\sqrt{2}{)}^2}+3\sqrt{2}=(2\sqrt{5}-3\sqrt{2})+3\sqrt{2}=2\sqrt{5};$$

Ответ: $2\sqrt{5}$.

б) $\sqrt{(2-\sqrt{7}{)}^2}+\sqrt{(3-\sqrt{7}{)}^2}$;

Сравним числа под знаком корня:

$$4<7<9;$$$$2<\sqrt{7}<3;$$$$2-\sqrt{7}<0\text{и}3-\sqrt{7}>0;$$

Найдем значение выражения:

$$\sqrt{(\sqrt{7}-2{)}^2}+\sqrt{(3-\sqrt{7}{)}^2}=(\sqrt{7}-2)+(3-\sqrt{7})=1;$$

Ответ: $1$.

в) $\sqrt{(2\sqrt{15}-3\sqrt{7}{)}^2}-3\sqrt{7}$;

Сравним числа под знаком корня:

$$2\sqrt{15}=\sqrt{4\cdot 15}=\sqrt{60};$$$$3\sqrt{7}=\sqrt{9\cdot 7}=\sqrt{63};$$$$\sqrt{60}<\sqrt{63};$$$$\sqrt{60}-\sqrt{63}<0;$$$$2\sqrt{15}-3\sqrt{7}<0;$$

Найдем значение выражения:

$$\sqrt{(3\sqrt{7}-2\sqrt{15}{)}^2}-3\sqrt{7}=(3\sqrt{7}-2\sqrt{15})-3\sqrt{7}=-2\sqrt{15};$$

Ответ: $-2\sqrt{15}$.

г) $\sqrt{(\sqrt{10}-3{)}^2}+\sqrt{(\sqrt{10}-4{)}^2}$;

Сравним числа под знаком корня:

$$9<10<16;$$$$3<\sqrt{10}<4;$$$$\sqrt{10}-3>0\text{и}\sqrt{10}-4<0;$$

Найдем значение выражения:

$$\sqrt{(\sqrt{10}-3{)}^2}+\sqrt{(4-\sqrt{10}{)}^2}=(\sqrt{10}-3)+(4-\sqrt{10})=1;$$

Ответ: $1$.

а) $\sqrt{(3\sqrt{2}-2\sqrt{5}{)}^2}+3\sqrt{2}$

Шаг 1. Разберемся с выражением под корнем.

Прежде чем вычислить само выражение, нам нужно разобраться с квадратом под корнем и с тем, что он обозначает. Мы видим, что у нас есть выражение вида $(3\sqrt{2}-2\sqrt{5}{)}^2$. В таких случаях важно понимать, что при взятии квадратного корня от квадрата выражения, мы получаем абсолютное значение этого выражения.

• Мы знаем, что:$$\sqrt{a^2}=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$$

  То есть, если $a=3\sqrt{2}-2\sqrt{5}$, то:

  $$\sqrt{(3\sqrt{2}-2\sqrt{5}{)}^2}=\mathrm{\mid }3\sqrt{2}-2\sqrt{5}\mathrm{\mid }$$

Шаг 2. Сравниваем числа $3\sqrt{2}$ и $2\sqrt{5}$.

Теперь, чтобы понять, какое из чисел больше, сравним $3\sqrt{2}$ и $2\sqrt{5}$.

• $3\sqrt{2}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{18}$,
• $2\sqrt{5}=\sqrt{4\cdot 5}=\sqrt{20}$.

Мы видим, что:

$$\sqrt{18}<\sqrt{20}$$

Значит:

$$3\sqrt{2}<2\sqrt{5}$$

Таким образом:

$$3\sqrt{2}-2\sqrt{5}<0$$

Следовательно, выражение $3\sqrt{2}-2\sqrt{5}$ отрицательно, и мы можем записать:

$$\mathrm{\mid }3\sqrt{2}-2\sqrt{5}\mathrm{\mid }=-(3\sqrt{2}-2\sqrt{5})=2\sqrt{5}-3\sqrt{2}$$

Шаг 3. Вычисляем итоговое выражение.

Теперь подставим найденное значение в исходное выражение:

$$\sqrt{(3\sqrt{2}-2\sqrt{5}{)}^2}+3\sqrt{2}=(2\sqrt{5}-3\sqrt{2})+3\sqrt{2}$$

Упростим:

$$(2\sqrt{5}-3\sqrt{2})+3\sqrt{2}=2\sqrt{5}$$

Ответ: $2\sqrt{5}$.

б) $\sqrt{(2-\sqrt{7}{)}^2}+\sqrt{(3-\sqrt{7}{)}^2}$

Шаг 1. Разбираемся с выражениями под корнем.

В этом случае также применим свойство абсолютного значения:

$$\sqrt{(2-\sqrt{7}{)}^2}=\mathrm{\mid }2-\sqrt{7}\mathrm{\mid }\text{и}\sqrt{(3-\sqrt{7}{)}^2}=\mathrm{\mid }3-\sqrt{7}\mathrm{\mid }$$

Шаг 2. Сравниваем $2-\sqrt{7}$ и $3-\sqrt{7}$.

Заметим, что:

• $\sqrt{7}\approx 2.645751311$,
• $2-\sqrt{7}\approx 2-2.645751311\approx -0.645751311$,
• $3-\sqrt{7}\approx 3-2.645751311\approx 0.354248689$.

Таким образом:

$$2-\sqrt{7}<0\text{и}3-\sqrt{7}>0$$

Следовательно:

$$\mathrm{\mid }2-\sqrt{7}\mathrm{\mid }=\sqrt{7}-2\text{и}\mathrm{\mid }3-\sqrt{7}\mathrm{\mid }=3-\sqrt{7}$$

Шаг 3. Вычисляем итоговое выражение.

Теперь подставляем найденные значения:

$$\sqrt{(2-\sqrt{7}{)}^2}+\sqrt{(3-\sqrt{7}{)}^2}=(\sqrt{7}-2)+(3-\sqrt{7})$$

Упростим:

$$(\sqrt{7}-2)+(3-\sqrt{7})=1$$

Ответ: $1$.

в) $\sqrt{(2\sqrt{15}-3\sqrt{7}{)}^2}-3\sqrt{7}$

Шаг 1. Разбираемся с выражением под корнем.

Как и в предыдущих примерах, берем абсолютное значение:

$$\sqrt{(2\sqrt{15}-3\sqrt{7}{)}^2}=\mathrm{\mid }2\sqrt{15}-3\sqrt{7}\mathrm{\mid }$$

Шаг 2. Сравниваем $2\sqrt{15}$ и $3\sqrt{7}$.

• $2\sqrt{15}=\sqrt{4\cdot 15}=\sqrt{60}$,
• $3\sqrt{7}=\sqrt{9\cdot 7}=\sqrt{63}$.

Мы видим, что:

$$\sqrt{60}<\sqrt{63}$$

Значит:

$$2\sqrt{15}-3\sqrt{7}<0$$

Следовательно:

$$\mathrm{\mid }2\sqrt{15}-3\sqrt{7}\mathrm{\mid }=-(2\sqrt{15}-3\sqrt{7})=3\sqrt{7}-2\sqrt{15}$$

Шаг 3. Вычисляем итоговое выражение.

Теперь подставляем:

$$\sqrt{(2\sqrt{15}-3\sqrt{7}{)}^2}-3\sqrt{7}=(3\sqrt{7}-2\sqrt{15})-3\sqrt{7}$$

Упростим:

$$(3\sqrt{7}-2\sqrt{15})-3\sqrt{7}=-2\sqrt{15}$$

Ответ: $-2\sqrt{15}$.

г) $\sqrt{(\sqrt{10}-3{)}^2}+\sqrt{(\sqrt{10}-4{)}^2}$

Шаг 1. Разбираемся с выражениями под корнем.

Опять-таки, применим абсолютные значения:

$$\sqrt{(\sqrt{10}-3{)}^2}=\mathrm{\mid }\sqrt{10}-3\mathrm{\mid }\text{и}\sqrt{(\sqrt{10}-4{)}^2}=\mathrm{\mid }\sqrt{10}-4\mathrm{\mid }$$

Шаг 2. Сравниваем $\sqrt{10}-3$ и $\sqrt{10}-4$.

Заметим, что:

• $\sqrt{10}\approx 3.162277660$,
• $\sqrt{10}-3\approx 3.162277660-3\approx 0.162277660$,
• $\sqrt{10}-4\approx 3.162277660-4\approx -0.837722340$.

Таким образом:

$$\sqrt{10}-3>0\text{и}\sqrt{10}-4<0$$

Следовательно:

$$\mathrm{\mid }\sqrt{10}-3\mathrm{\mid }=\sqrt{10}-3\text{и}\mathrm{\mid }\sqrt{10}-4\mathrm{\mid }=4-\sqrt{10}$$

Шаг 3. Вычисляем итоговое выражение.

Теперь подставляем найденные значения:

$$\sqrt{(\sqrt{10}-3{)}^2}+\sqrt{(\sqrt{10}-4{)}^2}=(\sqrt{10}-3)+(4-\sqrt{10})$$

Упростим:

$$(\sqrt{10}-3)+(4-\sqrt{10})=1$$

Ответ: $1$.

Итоговые ответы:

• а) $2\sqrt{5}$
• б) $1$
• в) $-2\sqrt{15}$
• г) $1$