ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 29.1 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Представьте в виде суммы:

а) $\sin {23}^{\circ }\cdot \sin {32}^{\circ }$

б) $\cos \frac{\pi }{12}\cdot \cos \frac{\pi }{8}$

в) $\sin {14}^{\circ }\cos {16}^{\circ }$

г) $2\sin \frac{\pi }{8}\cdot \cos \frac{\pi }{5}$

Представить в виде суммы:

а) $\sin 23^\circ \cdot \sin 32^\circ = \frac{\cos(32^\circ — 23^\circ) — \cos(32^\circ + 23^\circ)}{2} = \frac{1}{2} (\cos 9^\circ — \cos 55^\circ)$;

б) $\cos \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{\pi}{8} = \frac{\cos\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{12}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{8} — \frac{\pi}{12}\right)}{2} = \frac{1}{2} \left(\cos \frac{5\pi}{24} + \cos \frac{\pi}{24}\right)$;

в) $\sin 14^\circ \cos 16^\circ = \frac{\sin(14^\circ + 16^\circ) + \sin(14^\circ — 16^\circ)}{2} = \frac{1}{2} (\sin 30^\circ — \sin 2^\circ)$;

г) $2 \sin \frac{\pi}{8} \cdot \cos \frac{\pi}{5} = 2 \cdot \frac{\sin\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{5}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{8} — \frac{\pi}{5}\right)}{2} = \sin \frac{13\pi}{40} — \sin \frac{3\pi}{40}$;

а) $\sin 23^\circ \cdot \sin 32^\circ$

Для того чтобы выразить произведение синусов как разность косинусов, воспользуемся формулой произведения синусов через косинусы:

$$\sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2} \left( \cos(A — B) — \cos(A + B) \right)$$

В нашем случае $A = 23^\circ$, а $B = 32^\circ$. Подставим эти значения в формулу:

$$\sin 23^\circ \cdot \sin 32^\circ = \frac{1}{2} \left( \cos(32^\circ — 23^\circ) — \cos(32^\circ + 23^\circ) \right)$$

Теперь вычислим разности и суммы углов:

$$32^\circ — 23^\circ = 9^\circ, \quad 32^\circ + 23^\circ = 55^\circ$$

Таким образом, выражение преобразуется в:

$$\sin 23^\circ \cdot \sin 32^\circ = \frac{1}{2} \left( \cos 9^\circ — \cos 55^\circ \right)$$

б) $\cos \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{\pi}{8}$

Для преобразования произведения косинусов в сумму, применяем формулу:

$$\cos A \cdot \cos B = \frac{1}{2} \left( \cos(A — B) + \cos(A + B) \right)$$

В данном случае $A = \frac{\pi}{12}$, а $B = \frac{\pi}{8}$. Подставим эти значения в формулу:

$$\cos \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{\pi}{8} = \frac{1}{2} \left( \cos \left( \frac{\pi}{8} — \frac{\pi}{12} \right) + \cos \left( \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{12} \right) \right)$$

Вычислим разности и суммы углов:

$$\frac{\pi}{8} — \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{24} — \frac{2\pi}{24} = \frac{\pi}{24}$$ $$\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{24} + \frac{2\pi}{24} = \frac{5\pi}{24}$$

Таким образом, выражение примет вид:

$$\cos \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{\pi}{8} = \frac{1}{2} \left( \cos \frac{5\pi}{24} + \cos \frac{\pi}{24} \right)$$

в) $\sin 14^\circ \cos 16^\circ$

Для преобразования произведения синуса и косинуса в сумму, используем формулу:

$$\sin A \cdot \cos B = \frac{1}{2} \left( \sin(A + B) + \sin(A — B) \right)$$

В нашем случае $A = 14^\circ$, а $B = 16^\circ$. Подставляем эти значения:

$$\sin 14^\circ \cdot \cos 16^\circ = \frac{1}{2} \left( \sin(14^\circ + 16^\circ) + \sin(14^\circ — 16^\circ) \right)$$

Теперь вычислим разность и сумму углов:

$$14^\circ + 16^\circ = 30^\circ, \quad 14^\circ — 16^\circ = -2^\circ$$

Таким образом, выражение примет вид:

$$\sin 14^\circ \cdot \cos 16^\circ = \frac{1}{2} \left( \sin 30^\circ — \sin 2^\circ \right)$$

г) $2 \sin \frac{\pi}{8} \cdot \cos \frac{\pi}{5}$

Здесь мы сначала используем формулу произведения синуса и косинуса, а затем умножаем результат на 2. Напомню формулу для синуса и косинуса:

$$\sin A \cdot \cos B = \frac{1}{2} \left( \sin(A + B) + \sin(A — B) \right)$$

Теперь подставим $A = \frac{\pi}{8}$ и $B = \frac{\pi}{5}$:

$$2 \sin \frac{\pi}{8} \cdot \cos \frac{\pi}{5} = 2 \cdot \frac{1}{2} \left( \sin\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{5}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{8} — \frac{\pi}{5}\right) \right)$$

После сокращения на 2, получаем:

$$\sin \left(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{5}\right) + \sin \left(\frac{\pi}{8} — \frac{\pi}{5}\right)$$

Вычислим суммы и разности углов:

$$\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{5} = \frac{5\pi}{40} + \frac{8\pi}{40} = \frac{13\pi}{40}$$ $$\frac{\pi}{8} — \frac{\pi}{5} = \frac{5\pi}{40} — \frac{8\pi}{40} = \frac{-3\pi}{40}$$

Таким образом, результат преобразования:

$$2 \sin \frac{\pi}{8} \cdot \cos \frac{\pi}{5} = \sin \frac{13\pi}{40} — \sin \frac{3\pi}{40}$$

Итоговые результаты:

а) $\sin 23^\circ \cdot \sin 32^\circ = \frac{1}{2} (\cos 9^\circ — \cos 55^\circ)$

б) $\cos \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{\pi}{8} = \frac{1}{2} \left(\cos \frac{5\pi}{24} + \cos \frac{\pi}{24}\right)$

в) $\sin 14^\circ \cdot \cos 16^\circ = \frac{1}{2} (\sin 30^\circ — \sin 2^\circ)$

г) $2 \sin \frac{\pi}{8} \cdot \cos \frac{\pi}{5} = \sin \frac{13\pi}{40} — \sin \frac{3\pi}{40}$