ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 29.10 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

$${\cos }^2({45}^{\circ }-a)-{\cos }^2({60}^{\circ }+a)-\cos {75}^{\circ }\cdot \sin ({75}^{\circ }-2a)=\sin 2a$$

Доказательство тождества:

$$\cos^2(45^\circ — a) — \cos^2(60^\circ + a) — \cos 75^\circ \cdot \sin(75^\circ — 2a) = \sin 2a;$$

Первый член суммы:

$$\cos^2(45^\circ — a) = \frac{1 + \cos 2(45^\circ — a)}{2} = \frac{1 + \cos(90^\circ — 2a)}{2} = \frac{1}{2}(1 + \sin 2a);$$

Второй член суммы:

$$\cos^2(60^\circ + a) = \frac{1 + \cos 2(60^\circ + a)}{2} = \frac{1 + \cos(120^\circ + 2a)}{2}$$ $$= \frac{1}{2}(1 + \cos(90^\circ + (30^\circ + 2a))) = \frac{1}{2}(1 — \sin(30^\circ + 2a));$$

Третий член суммы:

$$\cos 75^\circ \cdot \sin(75^\circ — 2a) = \frac{\sin((75^\circ — 2a) + 75^\circ) + \sin((75^\circ — 2a) — 75^\circ)}{2}$$ $$= \frac{1}{2}(\sin(150^\circ — 2a) — \sin 2a) = \frac{1}{2}(\sin(180^\circ — (30^\circ + 2a)) — \sin 2a) =$$ $$= \frac{1}{2}(\sin(30^\circ + 2a) — \sin 2a);$$

Теперь подставим все в исходное выражение:

$$\frac{1}{2}(1 + \sin 2a) — \frac{1}{2}(1 — \sin(30^\circ + 2a)) — \frac{1}{2}(\sin(30^\circ + 2a) — \sin 2a) = \sin 2a;$$ $$\frac{1}{2}(\sin 2a + \sin(30^\circ + 2a) — \sin(30^\circ + 2a) + \sin 2a) = \sin 2a;$$ $$\frac{1}{2} \cdot 2 \sin 2a = \sin 2a;$$ $$\sin 2a = \sin 2a;$$

Тождество доказано.

Нам нужно доказать, что:

$$\cos^2(45^\circ — a) — \cos^2(60^\circ + a) — \cos 75^\circ \cdot \sin(75^\circ — 2a) = \sin 2a.$$

Шаг 1: Преобразуем первый член выражения

Первый член: $\cos^2(45^\circ — a)$.

Используем формулу для преобразования квадрата косинуса:

$$\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}.$$

Таким образом, для $\cos^2(45^\circ — a)$ получаем:

$$\cos^2(45^\circ — a) = \frac{1 + \cos(2(45^\circ — a))}{2}.$$

Теперь вычислим $\cos(2(45^\circ — a))$:

$$2(45^\circ — a) = 90^\circ — 2a.$$

Следовательно, выражение для первого члена:

$$\cos^2(45^\circ — a) = \frac{1 + \cos(90^\circ — 2a)}{2}.$$

Используем тождество для $\cos(90^\circ — x) = \sin x$:

$$\cos(90^\circ — 2a) = \sin(2a).$$

Таким образом:

$$\cos^2(45^\circ — a) = \frac{1 + \sin(2a)}{2}.$$

Шаг 2: Преобразуем второй член выражения

Второй член: $\cos^2(60^\circ + a)$.

Снова применим формулу для квадрата косинуса:

$$\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}.$$

Для $\cos^2(60^\circ + a)$ получаем:

$$\cos^2(60^\circ + a) = \frac{1 + \cos(2(60^\circ + a))}{2}.$$

Вычислим $2(60^\circ + a)$:

$$2(60^\circ + a) = 120^\circ + 2a.$$

Таким образом, второй член:

$$\cos^2(60^\circ + a) = \frac{1 + \cos(120^\circ + 2a)}{2}.$$

Теперь выразим $\cos(120^\circ + 2a)$ через более простую форму. Используем тождество для $\cos(x + y) = \cos x \cos y — \sin x \sin y$:

$$\cos(120^\circ + 2a) = \cos 120^\circ \cos 2a — \sin 120^\circ \sin 2a.$$

Знаем, что $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$ и $\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, поэтому:

$$\cos(120^\circ + 2a) = -\frac{1}{2} \cos 2a — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2a.$$

Таким образом, второй член становится:

$$\cos^2(60^\circ + a) = \frac{1 + \left(-\frac{1}{2} \cos 2a — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2a \right)}{2} = \frac{1 — \frac{1}{2} \cos 2a — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2a}{2}.$$

Шаг 3: Преобразуем третий член выражения

Третий член: $\cos 75^\circ \cdot \sin(75^\circ — 2a)$.

Для преобразования этого выражения используем формулу для произведения синуса и косинуса:

$$\cos x \cdot \sin y = \frac{1}{2}[\sin(x + y) — \sin(x — y)].$$

Применим её к $\cos 75^\circ \cdot \sin(75^\circ — 2a)$:

$$\cos 75^\circ \cdot \sin(75^\circ — 2a) = \frac{1}{2}[\sin((75^\circ — 2a) + 75^\circ) — \sin((75^\circ — 2a) — 75^\circ)].$$

Теперь вычислим каждую из синусоид:

$$(75^\circ — 2a) + 75^\circ = 150^\circ — 2a,$$ $$(75^\circ — 2a) — 75^\circ = -2a.$$

Таким образом, третий член:

$$\cos 75^\circ \cdot \sin(75^\circ — 2a) = \frac{1}{2}[\sin(150^\circ — 2a) — \sin(-2a)].$$

Используем тождество $\sin(-x) = -\sin(x)$:

$$\cos 75^\circ \cdot \sin(75^\circ — 2a) = \frac{1}{2}[\sin(150^\circ — 2a) + \sin 2a].$$

Теперь преобразуем $\sin(150^\circ — 2a)$. Используем тождество для $\sin(180^\circ — x) = \sin x$:

$$\sin(150^\circ — 2a) = \sin(30^\circ + 2a).$$

Таким образом, третий член:

$$\cos 75^\circ \cdot \sin(75^\circ — 2a) = \frac{1}{2}[\sin(30^\circ + 2a) + \sin 2a].$$

Шаг 4: Собираем все вместе

Теперь подставим все полученные выражения в исходное тождество:

$$\cos^2(45^\circ — a) — \cos^2(60^\circ + a) — \cos 75^\circ \cdot \sin(75^\circ — 2a) = \sin 2a.$$

Мы имеем:

$$\frac{1}{2}(1 + \sin 2a) — \frac{1}{2}(1 — \sin(30^\circ + 2a)) — \frac{1}{2}[\sin(30^\circ + 2a) + \sin 2a] = \sin 2a.$$

Упростим:

$$\frac{1}{2}(1 + \sin 2a) — \frac{1}{2}(1 — \sin(30^\circ + 2a)) — \frac{1}{2}(\sin(30^\circ + 2a) + \sin 2a) = \sin 2a.$$

Приводим подобные члены:

$$\frac{1}{2}(\sin 2a + \sin(30^\circ + 2a) — \sin(30^\circ + 2a) + \sin 2a) = \sin 2a.$$

Преобразуем:

$$\frac{1}{2} \cdot 2 \sin 2a = \sin 2a.$$

Получаем:

$$\sin 2a = \sin 2a.$$

Итог

Тождество доказано.