ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 29.12 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) ${\cos }^2{3}^{\circ }+{\cos }^2{1}^{\circ }-\cos 4^{\circ }\cdot \cos 2^{\circ }$

б) ${\sin }^2{10}^{\circ }+\cos {50}^{\circ }\cdot \cos {70}^{\circ }$

а) $\cos^2 3^\circ + \cos^2 1^\circ — \cos 4^\circ \cdot \cos 2^\circ =$

$$= \frac{1 + \cos 6^\circ}{2} + \frac{1 + \cos 2^\circ}{2} — \frac{\cos(4^\circ + 2^\circ) + \cos(4^\circ — 2^\circ)}{2} =$$ $$= \frac{2 + (\cos 6^\circ + \cos 2^\circ) — (\cos 6^\circ + \cos 2^\circ)}{2} = \frac{2}{2} = 1;$$

Ответ: $1$.

б) $\sin^2 10^\circ + \cos 50^\circ \cdot \cos 70^\circ =$

$$= \frac{1 — \cos 20^\circ}{2} + \frac{\cos(50^\circ + 70^\circ) — \cos(70^\circ — 50^\circ)}{2} =$$ $$= \frac{1 — \cos 20^\circ + \cos 120^\circ — \cos 20^\circ}{2} = \frac{1 + \cos 120^\circ}{2} = \cos^2 60^\circ = \frac{1}{4};$$

Ответ: $\frac{1}{4}$.

а)

Нужно решить выражение:

$$\cos^2 3^\circ + \cos^2 1^\circ — \cos 4^\circ \cdot \cos 2^\circ$$

Шаг 1: Применяем формулы для преобразования квадратов косинусов.

Для того чтобы упростить квадраты косинусов, воспользуемся известной формулой:

$$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$$

Применим эту формулу для $\cos^2 3^\circ$ и $\cos^2 1^\circ$:

$$\cos^2 3^\circ = \frac{1 + \cos(2 \cdot 3^\circ)}{2} = \frac{1 + \cos 6^\circ}{2}$$ $$\cos^2 1^\circ = \frac{1 + \cos(2 \cdot 1^\circ)}{2} = \frac{1 + \cos 2^\circ}{2}$$

Теперь подставим эти выражения в исходное:

$$\cos^2 3^\circ + \cos^2 1^\circ = \frac{1 + \cos 6^\circ}{2} + \frac{1 + \cos 2^\circ}{2}$$

Шаг 2: Применяем формулу для произведения косинусов.

Теперь давайте упростим произведение $\cos 4^\circ \cdot \cos 2^\circ$. Для этого используем формулу для произведения косинусов:

$$\cos A \cdot \cos B = \frac{1}{2} \left( \cos(A — B) + \cos(A + B) \right)$$

Подставляем значения $A = 4^\circ$ и $B = 2^\circ$:

$$\cos 4^\circ \cdot \cos 2^\circ = \frac{1}{2} \left( \cos(4^\circ — 2^\circ) + \cos(4^\circ + 2^\circ) \right) = \frac{1}{2} \left( \cos 2^\circ + \cos 6^\circ \right)$$

Шаг 3: Подставляем все в исходное выражение.

Теперь подставим все полученные выражения в исходное:

$$\cos^2 3^\circ + \cos^2 1^\circ — \cos 4^\circ \cdot \cos 2^\circ = \frac{1 + \cos 6^\circ}{2} + \frac{1 + \cos 2^\circ}{2} — \frac{1}{2} \left( \cos 2^\circ + \cos 6^\circ \right)$$

Приводим все к общему знаменателю:

$$= \frac{1 + \cos 6^\circ + 1 + \cos 2^\circ — (\cos 2^\circ + \cos 6^\circ)}{2}$$

Упрощаем:

$$= \frac{2 + (\cos 6^\circ + \cos 2^\circ) — (\cos 6^\circ + \cos 2^\circ)}{2}$$

Мы видим, что выражения $\cos 6^\circ$ и $\cos 2^\circ$ сокращаются, и остается только:

$$= \frac{2}{2} = 1$$

Ответ: $1$.

б)

Нужно решить выражение:

$$\sin^2 10^\circ + \cos 50^\circ \cdot \cos 70^\circ$$

Шаг 1: Применяем формулу для квадрата синуса.

Используем аналогичную формулу для квадрата синуса, как мы делали для косинусов в части (а):

$$\sin^2 \theta = \frac{1 — \cos(2\theta)}{2}$$

Применяем это для $\sin^2 10^\circ$:

$$\sin^2 10^\circ = \frac{1 — \cos(2 \cdot 10^\circ)}{2} = \frac{1 — \cos 20^\circ}{2}$$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$$\sin^2 10^\circ + \cos 50^\circ \cdot \cos 70^\circ = \frac{1 — \cos 20^\circ}{2} + \cos 50^\circ \cdot \cos 70^\circ$$

Шаг 2: Применяем формулу для произведения косинусов.

Для произведения косинусов снова используем формулу:

$$\cos A \cdot \cos B = \frac{1}{2} \left( \cos(A — B) + \cos(A + B) \right)$$

Подставляем $A = 50^\circ$ и $B = 70^\circ$:

$$\cos 50^\circ \cdot \cos 70^\circ = \frac{1}{2} \left( \cos(50^\circ — 70^\circ) + \cos(50^\circ + 70^\circ) \right)$$

Это выражение упрощается следующим образом:

$$= \frac{1}{2} \left( \cos(-20^\circ) + \cos 120^\circ \right) = \frac{1}{2} \left( \cos 20^\circ + \cos 120^\circ \right)$$

Шаг 3: Подставляем всё в исходное выражение.

Теперь подставим все полученные выражения в исходное:

$$\sin^2 10^\circ + \cos 50^\circ \cdot \cos 70^\circ = \frac{1 — \cos 20^\circ}{2} + \frac{\cos 20^\circ + \cos 120^\circ}{2}$$

Приводим все к общему знаменателю:

$$= \frac{1 — \cos 20^\circ + \cos 20^\circ + \cos 120^\circ}{2}$$

Упрощаем:

$$= \frac{1 + \cos 120^\circ}{2}$$

Зная, что $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$, получаем:

$$= \frac{1 — \frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$$

Ответ: $\frac{1}{4}$.

Итог:

а) Ответ: $1$

б) Ответ: $\frac{1}{4}$