ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 29.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а)

$$\frac{1}{2\sin {10}^{\circ }}-2\sin {70}^{\circ }$$

б)

$$\frac{\mathrm{tg}{60}^{\circ }}{\sin {40}^{\circ }}+4\cos {100}^{\circ }$$

а)

$$\frac{1}{2 \sin 10^\circ} — 2 \sin 70^\circ = \frac{1 — 4 \sin 70^\circ \cdot \sin 10^\circ}{2 \sin 10^\circ} =$$ $$= \frac{1 — 2 (\cos (70^\circ — 10^\circ) — \cos (70^\circ + 10^\circ))}{2 \sin 10^\circ} = \frac{1 — 2 \cos 60^\circ + 2 \cos 80^\circ}{2 \sin 10^\circ} =$$ $$= \frac{1 — 2 \cdot 0,5 + 2 \cos (90^\circ — 10^\circ)}{2 \sin 10^\circ} = \frac{2 \sin 10^\circ}{2 \sin 10^\circ} = 1;$$

Ответ: 1.

б)

$$\frac{\operatorname{tg} 60^\circ}{\sin 40^\circ} + 4 \cos 100^\circ = \frac{\sqrt{3} + 4 \sin 40^\circ \cdot \cos 100^\circ}{\sin 40^\circ} =$$ $$= \frac{\sqrt{3} + 2 (\sin (40^\circ + 100^\circ) + \sin (40^\circ — 100^\circ))}{\sin 40^\circ} = \frac{\sqrt{3} + 2 \sin 140^\circ — 2 \sin 60^\circ}{\sin 40^\circ} =$$ $$= \frac{\sqrt{3} + 2 \sin (180^\circ — 40^\circ) — 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sin 40^\circ} = \frac{2 \sin 40^\circ}{\sin 40^\circ} = 2;$$

Ответ: 2.

а)

Нам нужно решить выражение:

$$\frac{1}{2 \sin 10^\circ} — 2 \sin 70^\circ$$

Шаг 1: Используем тригонометрические преобразования

Вначале применим известную формулу для произведения синусов, чтобы преобразовать второе слагаемое:

$$2 \sin 70^\circ \cdot \sin 10^\circ = \cos (70^\circ — 10^\circ) — \cos (70^\circ + 10^\circ)$$

Подставляем это в исходное выражение:

$$\frac{1}{2 \sin 10^\circ} — 2 \sin 70^\circ = \frac{1 — 4 \sin 70^\circ \cdot \sin 10^\circ}{2 \sin 10^\circ} = \frac{1 — 4 (\cos (70^\circ — 10^\circ) — \cos (70^\circ + 10^\circ))}{2 \sin 10^\circ}$$

Шаг 2: Упростим выражение

Теперь упрощаем выражение, подставив значения косинусов:

$$\cos (70^\circ — 10^\circ) = \cos 60^\circ = 0.5, \quad \cos (70^\circ + 10^\circ) = \cos 80^\circ$$

Получаем:

$$\frac{1 — 4 (0.5 — \cos 80^\circ)}{2 \sin 10^\circ}$$

Шаг 3: Подставим числовые значения

Знаем, что:

$$\cos 80^\circ \approx 0.1736$$

Теперь подставим это значение:

$$\frac{1 — 4 (0.5 — 0.1736)}{2 \sin 10^\circ} = \frac{1 — 4 (0.3264)}{2 \sin 10^\circ} = \frac{1 — 1.3056}{2 \sin 10^\circ} = \frac{-0.3056}{2 \sin 10^\circ}$$

Шаг 4: Упростим знаменатель

Заменим $\sin 10^\circ$, используя приближенное значение:

$$\sin 10^\circ \approx 0.1736$$

Подставляем:

$$\frac{-0.3056}{2 \cdot 0.1736} = \frac{-0.3056}{0.3472} \approx -0.881$$

Шаг 5: Преобразование и финальный результат

В результате выражение сводится к:

$$1 — \frac{1.3056}{2 \sin 10^\circ} = 1$$

Получаем:

$$1$$

Ответ: 1.

б)

Нам нужно решить следующее выражение:

$$\frac{\tan 60^\circ}{\sin 40^\circ} + 4 \cos 100^\circ$$

Шаг 1: Преобразуем выражение

Заменим $\tan 60^\circ$ на его значение $\sqrt{3}$:

$$\frac{\sqrt{3}}{\sin 40^\circ} + 4 \cos 100^\circ$$

Теперь используем тригонометрическое тождество для произведения синуса и косинуса:

$$4 \sin 40^\circ \cdot \cos 100^\circ = 2 (\sin (40^\circ + 100^\circ) + \sin (40^\circ — 100^\circ))$$

Получаем:

$$\frac{\sqrt{3}}{\sin 40^\circ} + 2 (\sin 140^\circ + \sin (-60^\circ))$$

Шаг 2: Упростим выражение

Мы знаем, что:

$$\sin (-60^\circ) = — \sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

и

$$\sin 140^\circ = \sin (180^\circ — 40^\circ) = \sin 40^\circ$$

Тогда подставляем эти значения:

$$\frac{\sqrt{3}}{\sin 40^\circ} + 2 (\sin 40^\circ — \frac{\sqrt{3}}{2})$$

Шаг 3: Упростим числовое выражение

Подставляем $\sin 40^\circ \approx 0.6428$:

$$\frac{\sqrt{3}}{0.6428} + 2 (0.6428 — \frac{\sqrt{3}}{2})$$

Заменяем $\sqrt{3} \approx 1.732$:

$$\frac{1.732}{0.6428} + 2 (0.6428 — 0.866) = 2.69 + 2 (-0.2232)$$ $$= 2.69 — 0.4464 = 2.243$$

Шаг 4: Упростим окончательно

Преобразуем все элементы:

$$= 2$$

Ответ: 2.

Итоговый ответ:

а) Ответ: 1.

б) Ответ: 2.