ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 29.14 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $2\sin {87}^{\circ }\cdot \cos {57}^{\circ }-\sin {36}^{\circ }$

б) $2\sin {59}^{\circ }\cdot \sin {14}^{\circ }+\sin {163}^{\circ }$

а) $2 \sin 87^\circ \cdot \cos 57^\circ — \sin 36^\circ =$

$= 2 \cdot \frac{\sin(87^\circ + 57^\circ) + \sin(87^\circ — 57^\circ)}{2} — \sin(180^\circ — 144^\circ) =$

$= \sin 144^\circ + \sin 30^\circ — \sin 144^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2};$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) $2 \sin 59^\circ \cdot \sin 14^\circ + \sin 163^\circ =$

$= 2 \cdot \frac{\cos(59^\circ — 14^\circ) — \cos(59^\circ + 14^\circ)}{2} + \sin(90^\circ + 73^\circ) =$

$= \cos 45^\circ — \cos 73^\circ + \cos 73^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2};$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

а) $2 \sin 87^\circ \cdot \cos 57^\circ — \sin 36^\circ$

Для начала, рассмотрим выражение:

$$2 \sin 87^\circ \cdot \cos 57^\circ — \sin 36^\circ$$

Используем формулу для произведения синуса и косинуса:

Формула для произведения синуса и косинуса:

$$2 \sin A \cdot \cos B = \sin(A + B) + \sin(A — B)$$

Применим её к нашему выражению:

$$2 \sin 87^\circ \cdot \cos 57^\circ = \sin(87^\circ + 57^\circ) + \sin(87^\circ — 57^\circ)$$

Вычислим углы:

$$87^\circ + 57^\circ = 144^\circ$$ $$87^\circ — 57^\circ = 30^\circ$$

Подставим это в формулу:

$$2 \sin 87^\circ \cdot \cos 57^\circ = \sin 144^\circ + \sin 30^\circ$$

Таким образом, исходное выражение преобразуется в:

$$\sin 144^\circ + \sin 30^\circ — \sin 36^\circ$$

Используем свойство синуса угла:

Напомним, что $\sin(180^\circ — x) = \sin x$. То есть:

$$\sin 144^\circ = \sin (180^\circ — 36^\circ) = \sin 36^\circ$$

Теперь подставим это в выражение:

$$\sin 36^\circ + \sin 30^\circ — \sin 36^\circ$$

Упрощаем:

$$\sin 36^\circ — \sin 36^\circ = 0$$

Остаётся:

$$\sin 30^\circ$$

Значение $\sin 30^\circ$:

Из известных значений тригонометрических функций мы знаем, что:

$$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$$

Итак, ответ для пункта а):

$$\frac{1}{2}$$

б) $2 \sin 59^\circ \cdot \sin 14^\circ + \sin 163^\circ$

Теперь переходим ко второму выражению:

$$2 \sin 59^\circ \cdot \sin 14^\circ + \sin 163^\circ$$

Используем формулу для произведения синусов:

Формула для произведения синусов:

$$2 \sin A \cdot \sin B = \cos(A — B) — \cos(A + B)$$

Применим её к нашему выражению:

$$2 \sin 59^\circ \cdot \sin 14^\circ = \cos(59^\circ — 14^\circ) — \cos(59^\circ + 14^\circ)$$

Вычислим углы:

$$59^\circ — 14^\circ = 45^\circ$$ $$59^\circ + 14^\circ = 73^\circ$$

Подставим это в формулу:

$$2 \sin 59^\circ \cdot \sin 14^\circ = \cos 45^\circ — \cos 73^\circ$$

Таким образом, исходное выражение преобразуется в:

$$\cos 45^\circ — \cos 73^\circ + \sin 163^\circ$$

Используем свойство синуса:

Напомним, что $\sin(180^\circ — x) = \sin x$. То есть:

$$\sin 163^\circ = \sin(180^\circ — 17^\circ) = \sin 17^\circ$$

Теперь подставим это в выражение:

$$\cos 45^\circ — \cos 73^\circ + \sin 17^\circ$$

Упрощаем выражение:

Теперь, давайте посмотрим на результат:

$$\cos 45^\circ — \cos 73^\circ + \cos 73^\circ$$

Заметим, что $— \cos 73^\circ + \cos 73^\circ = 0$, и остаётся только:

$$\cos 45^\circ$$

Значение $\cos 45^\circ$:

Из известных значений тригонометрических функций мы знаем, что:

$$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Итак, ответ для пункта б):

$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Итоговые ответы:

а) $\frac{1}{2}$

б) $\frac{\sqrt{2}}{2}$