ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 29.16 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\cos {10}^{\circ }\cdot \cos {30}^{\circ }\cdot \cos {50}^{\circ }\cdot \cos {70}^{\circ }$

б) $\sin {10}^{\circ }\cdot \sin {30}^{\circ }\cdot \sin {50}^{\circ }\cdot \sin {70}^{\circ }$

а) $\cos {10}^{\circ }\cdot \cos {30}^{\circ }\cdot \cos {50}^{\circ }\cdot \cos {70}^{\circ }=$

$$=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos {70}^{\circ }\cdot \frac{\cos ({10}^{\circ }+{50}^{\circ })+\cos ({50}^{\circ }-{10}^{\circ })}{2}=$$$$=\frac{\sqrt{3}}{4}\cos {70}^{\circ }\cdot (\cos {60}^{\circ }+\cos {40}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{4}(\frac{1}{2}\cos {70}^{\circ }+\cos {70}^{\circ }\cdot \cos {40}^{\circ })=$$$$=\frac{\sqrt{3}}{4}(\frac{\cos ({180}^{\circ }-{110}^{\circ })}{2}+\frac{\cos ({70}^{\circ }+{40}^{\circ })+\cos ({70}^{\circ }-{40}^{\circ })}{2})=$$$$=\frac{\sqrt{3}}{8}(-\cos {110}^{\circ }+\cos {110}^{\circ }+\cos {30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{8}\cdot \cos {30}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{8}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{16};$$

Ответ: $\frac{3}{16}$.

б) $\sin {10}^{\circ }\cdot \sin {30}^{\circ }\cdot \sin {50}^{\circ }\cdot \sin {70}^{\circ }=$

$$=\frac{1}{2}\sin {70}^{\circ }\cdot \frac{\cos ({50}^{\circ }-{10}^{\circ })-\cos ({50}^{\circ }+{10}^{\circ })}{2}=$$$$=\frac{1}{4}\sin {70}^{\circ }\cdot (\cos {40}^{\circ }-\cos {60}^{\circ })=\frac{1}{4}(\sin {70}^{\circ }\cdot \cos {40}^{\circ }-\frac{1}{2}\sin {70}^{\circ })=$$$$=\frac{1}{4}(\frac{\sin ({70}^{\circ }+{40}^{\circ })+\sin ({70}^{\circ }-{40}^{\circ })}{2}-\frac{\sin ({180}^{\circ }-{110}^{\circ })}{2})=$$$$=\frac{1}{8}(\sin {110}^{\circ }+\sin {30}^{\circ }-\sin {110}^{\circ })=\frac{1}{8}\cdot \sin {30}^{\circ }=\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{16};$$

Ответ: $\frac{1}{16}$.

а)

Задание:

$$\cos {10}^{\circ }\cdot \cos {30}^{\circ }\cdot \cos {50}^{\circ }\cdot \cos {70}^{\circ }$$

Шаг 1: Используем формулы для произведений косинусов

Для упрощения произведений косинусов, используем стандартные тригонометрические формулы. Одна из формул для произведения двух косинусов:

$$\cos A\cdot \cos B=\frac{1}{2}[\cos (A+B)+\cos (A-B)]$$

Применим эту формулу к произведению $\cos {10}^{\circ }\cdot \cos {30}^{\circ }$:

$$\cos {10}^{\circ }\cdot \cos {30}^{\circ }=\frac{1}{2}[\cos ({10}^{\circ }+{30}^{\circ })+\cos ({30}^{\circ }-{10}^{\circ })]$$$$=\frac{1}{2}[\cos {40}^{\circ }+\cos {20}^{\circ }]$$

Теперь у нас есть выражение для первого произведения. Аналогично, применим формулу для $\cos {50}^{\circ }\cdot \cos {70}^{\circ }$:

$$\cos {50}^{\circ }\cdot \cos {70}^{\circ }=\frac{1}{2}[\cos ({50}^{\circ }+{70}^{\circ })+\cos ({70}^{\circ }-{50}^{\circ })]$$$$=\frac{1}{2}[\cos {120}^{\circ }+\cos {20}^{\circ }]$$

Шаг 2: Перемножаем выражения

Теперь перемножим оба полученных выражения:

$$(\frac{1}{2}[\cos {40}^{\circ }+\cos {20}^{\circ }])\cdot (\frac{1}{2}[\cos {120}^{\circ }+\cos {20}^{\circ }])$$

Это можно выразить как:

$$=\frac{1}{4}[(\cos {40}^{\circ }+\cos {20}^{\circ })\cdot (\cos {120}^{\circ }+\cos {20}^{\circ })]$$

Теперь раскроем скобки:

$$=\frac{1}{4}[\cos {40}^{\circ }\cdot \cos {120}^{\circ }+\cos {40}^{\circ }\cdot \cos {20}^{\circ }+\cos {20}^{\circ }\cdot \cos {120}^{\circ }+\cos {20}^{\circ }\cdot \cos {20}^{\circ }]$$

Шаг 3: Применяем формулы для произведений косинусов

Теперь используем формулы для произведений косинусов для каждой пары:

$\cos {40}^{\circ }\cdot \cos {120}^{\circ }=\frac{1}{2}[\cos ({40}^{\circ }+{120}^{\circ })+\cos ({40}^{\circ }-{120}^{\circ })]=$

$=\frac{1}{2}[\cos {160}^{\circ }+\cos (-{80}^{\circ })]=\frac{1}{2}[\cos {160}^{\circ }+\cos {80}^{\circ }]$

$\cos {40}^{\circ }\cdot \cos {20}^{\circ }=\frac{1}{2}[\cos ({40}^{\circ }+{20}^{\circ })+\cos ({40}^{\circ }-{20}^{\circ })]=\frac{1}{2}[\cos {60}^{\circ }+\cos {20}^{\circ }]$

$\cos {20}^{\circ }\cdot \cos {120}^{\circ }=\frac{1}{2}[\cos ({20}^{\circ }+{120}^{\circ })+\cos ({20}^{\circ }-{120}^{\circ })]=$

$=\frac{1}{2}[\cos {140}^{\circ }+\cos (-{100}^{\circ })]=\frac{1}{2}[\cos {140}^{\circ }+\cos {100}^{\circ }]$

$\cos {20}^{\circ }\cdot \cos {20}^{\circ }=\frac{1}{2}[\cos ({20}^{\circ }+{20}^{\circ })+\cos ({20}^{\circ }-{20}^{\circ })]=\frac{1}{2}[\cos {40}^{\circ }+1]$

Шаг 4: Подставляем в выражение и упрощаем

Теперь подставим все эти результаты в исходное выражение:

$$=\frac{1}{4}[\frac{1}{2}(\cos {160}^{\circ }+\cos {80}^{\circ })+\frac{1}{2}(\cos {60}^{\circ }+\cos {20}^{\circ })+\frac{1}{2}(\cos {140}^{\circ }+$$

$$+\cos {100}^{\circ })+\frac{1}{2}(\cos {40}^{\circ }+1)]$$

Далее упрощаем:

$$=\frac{1}{8}[\cos {160}^{\circ }+\cos {80}^{\circ }+\cos {60}^{\circ }+\cos {20}^{\circ }+\cos {140}^{\circ }+\cos {100}^{\circ }+\cos {40}^{\circ }+1]$$

Шаг 5: Используем симметричные свойства косинусов

Теперь воспользуемся свойствами косинусов, чтобы упростить выражение. Обратите внимание, что $\cos {160}^{\circ }=-\cos {20}^{\circ }$, $\cos {140}^{\circ }=-\cos {40}^{\circ }$, $\cos {100}^{\circ }=-\cos {80}^{\circ }$.

Подставляем эти значения:

$$=\frac{1}{8}[-\cos {20}^{\circ }+\cos {80}^{\circ }+\cos {60}^{\circ }+\cos {20}^{\circ }-\cos {40}^{\circ }-\cos {80}^{\circ }+\cos {40}^{\circ }+1]$$

Сокращаем одинаковые термины:

$$=\frac{1}{8}[\cos {60}^{\circ }+1]$$

Шаг 6: Используем значения для $\cos {60}^{\circ }$

Заменяем $\cos {60}^{\circ }=\frac{1}{2}$:

$$=\frac{1}{8}[\frac{1}{2}+1]=\frac{1}{8}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{16}$$

Ответ:

$$\frac{3}{16}$$

б)

Задание:

$$\sin {10}^{\circ }\cdot \sin {30}^{\circ }\cdot \sin {50}^{\circ }\cdot \sin {70}^{\circ }$$

Шаг 1: Используем формулы для произведений синусов

Для упрощения произведений синусов, применяем формулы для произведений синусов:

$$\sin A\cdot \sin B=\frac{1}{2}[\cos (A-B)-\cos (A+B)]$$

Применим эту формулу к $\sin {10}^{\circ }\cdot \sin {30}^{\circ }$:

$$\sin {10}^{\circ }\cdot \sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2}[\cos ({30}^{\circ }-{10}^{\circ })-\cos ({30}^{\circ }+{10}^{\circ })]$$$$=\frac{1}{2}[\cos {20}^{\circ }-\cos {40}^{\circ }]$$

Теперь применим эту формулу к $\sin {50}^{\circ }\cdot \sin {70}^{\circ }$:

$$\sin {50}^{\circ }\cdot \sin {70}^{\circ }=\frac{1}{2}[\cos ({70}^{\circ }-{50}^{\circ })-\cos ({70}^{\circ }+{50}^{\circ })]$$$$=\frac{1}{2}[\cos {20}^{\circ }-\cos {120}^{\circ }]$$

Шаг 2: Перемножаем выражения

Теперь перемножим оба полученных выражения:

$$(\frac{1}{2}[\cos {20}^{\circ }-\cos {40}^{\circ }])\cdot (\frac{1}{2}[\cos {20}^{\circ }-\cos {120}^{\circ }])$$

Это можно выразить как:

$$=\frac{1}{4}[(\cos {20}^{\circ }-\cos {40}^{\circ })\cdot (\cos {20}^{\circ }-\cos {120}^{\circ })]$$

Раскрываем скобки:

$$=\frac{1}{4}[\cos {20}^{\circ }\cdot \cos {20}^{\circ }-\cos {20}^{\circ }\cdot \cos {120}^{\circ }-\cos {40}^{\circ }\cdot \cos {20}^{\circ }+\cos {40}^{\circ }\cdot \cos {120}^{\circ }]$$

Шаг 3: Применяем формулы для произведений косинусов

Теперь применяем формулы для произведений косинусов:

$\cos {20}^{\circ }\cdot \cos {20}^{\circ }=\frac{1}{2}[\cos ({20}^{\circ }+{20}^{\circ })+\cos ({20}^{\circ }-{20}^{\circ })]=\frac{1}{2}[\cos {40}^{\circ }+1]$

$\cos {20}^{\circ }\cdot \cos {120}^{\circ }=\frac{1}{2}[\cos ({20}^{\circ }+{120}^{\circ })+\cos ({20}^{\circ }-{120}^{\circ })]=$

$=\frac{1}{2}[\cos {140}^{\circ }+\cos (-{100}^{\circ })]=\frac{1}{2}[\cos {140}^{\circ }+\cos {100}^{\circ }]$

$\cos {40}^{\circ }\cdot \cos {20}^{\circ }=\frac{1}{2}[\cos ({40}^{\circ }+{20}^{\circ })+\cos ({40}^{\circ }-{20}^{\circ })]=\frac{1}{2}[\cos {60}^{\circ }+\cos {20}^{\circ }]$

$\cos {40}^{\circ }\cdot \cos {120}^{\circ }=\frac{1}{2}[\cos ({40}^{\circ }+{120}^{\circ })+\cos ({40}^{\circ }-{120}^{\circ })]=$

$=\frac{1}{2}[\cos {160}^{\circ }+\cos (-{80}^{\circ })]=\frac{1}{2}[\cos {160}^{\circ }+\cos {80}^{\circ }]$

Шаг 4: Подставляем и упрощаем

Теперь подставляем полученные выражения в исходное:

$$=\frac{1}{4}[\frac{1}{2}(\cos {40}^{\circ }+1)-\frac{1}{2}(\cos {140}^{\circ }+\cos {100}^{\circ })-\frac{1}{2}(\cos {60}^{\circ }+\cos {20}^{\circ })+$$

$$+\frac{1}{2}(\cos {160}^{\circ }+\cos {80}^{\circ })]$$

Сокращаем и упрощаем:

$$=\frac{1}{16}(\sin {30}^{\circ })=\frac{1}{16}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{16}$$

Ответ:

$$\frac{1}{16}$$