ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 29.19 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Зная, что $\cos x = \frac{3}{4}$, вычислите $16 \sin \frac{x}{2} \sin \frac{3x}{2}$;

б) Зная, что $\cos x = -\frac{3}{5}$, $\frac{\pi}{2} < x < \pi$, вычислите $125 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{5x}{2}$.

а) Известно, что $\cos x = \frac{3}{4}$;

Значения функций:

$$\cos^2 x = \left( \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{9}{16};$$ $$\sin^2 x = 1 — \cos^2 x = \frac{16}{16} — \frac{9}{16} = \frac{7}{16};$$ $$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x = \frac{9}{16} — \frac{7}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8};$$

Значение искомого выражения:

$$16 \sin \frac{x}{2} \cdot \sin \frac{3x}{2} = 16 \cdot \frac{\cos \left( \frac{3x}{2} — \frac{x}{2} \right) — \cos \left( \frac{3x}{2} + \frac{x}{2} \right)}{2} = 8 (\cos x — \cos 2x) =$$ $$= 8 \left( \frac{3}{4} — \frac{1}{8} \right) = 2 \cdot 3 — 1 = 6 — 1 = 5;$$

Ответ: 5.

б) Известно, что $\cos x = -\frac{3}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < x < \pi$;

Значения функций:

$$\sin x = +\sqrt{1 — \cos^2 x} = \sqrt{1 — \left( -\frac{3}{5} \right)^2} = \sqrt{\frac{25}{25} — \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5};$$ $$\sin 2x = 2 \sin x \cdot \cos x = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \left( -\frac{3}{5} \right) = -\frac{24}{25};$$ $$\sin 3x = 3 \sin x — 4 \sin^3 x = 3 \cdot \frac{4}{5} — 4 \cdot \left( \frac{4}{5} \right)^3 = \frac{12}{5} — \frac{256}{125} = \frac{300 — 256}{125} = \frac{44}{125};$$

Значение искомого выражения:

$$125 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{5x}{2} = 125 \cdot \frac{\sin \left( \frac{x}{2} + \frac{5x}{2} \right) + \sin \left( \frac{x}{2} — \frac{5x}{2} \right)}{2} = \frac{125}{2} (\sin 3x — \sin 2x) =$$ $$= \frac{125}{2} \left( \frac{44}{125} + \frac{24}{25} \right) = \frac{44}{2} + \frac{5 \cdot 24}{2} = 22 + 60 = 82;$$

Ответ: 82.

а) Известно, что $\cos x = \frac{3}{4}$;

1) Значения функций:

Нам нужно найти значения различных тригонометрических функций, используя данное значение $\cos x = \frac{3}{4}$.

1. Вычислим $\cos^2 x$:

Используем определение $\cos^2 x$:

$$\cos^2 x = \left( \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{9}{16}$$

2. Вычислим $\sin^2 x$:

Используем основной тригонометрический тождество:

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$

Подставим $\cos^2 x = \frac{9}{16}$ в это равенство:

$$\sin^2 x = 1 — \cos^2 x = 1 — \frac{9}{16} = \frac{16}{16} — \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$$

Таким образом, $\sin^2 x = \frac{7}{16}$.

3. Вычислим $\cos 2x$:

Мы используем формулу для удвоенного угла:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Подставим $\cos^2 x = \frac{9}{16}$ и $\sin^2 x = \frac{7}{16}$ в эту формулу:

$$\cos 2x = \frac{9}{16} — \frac{7}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$$

Таким образом, $\cos 2x = \frac{1}{8}$.

2) Значение искомого выражения:

Нам нужно вычислить выражение:

$$16 \sin \frac{x}{2} \cdot \sin \frac{3x}{2}$$

Используем формулу для произведения синусов:

$$\sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2} \left( \cos(A — B) — \cos(A + B) \right)$$

Подставим $A = \frac{x}{2}$ и $B = \frac{3x}{2}$:

$$\sin \frac{x}{2} \cdot \sin \frac{3x}{2} = \frac{1}{2} \left( \cos \left( \frac{3x}{2} — \frac{x}{2} \right) — \cos \left( \frac{3x}{2} + \frac{x}{2} \right) \right)$$ $$= \frac{1}{2} \left( \cos x — \cos 2x \right)$$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$$16 \sin \frac{x}{2} \cdot \sin \frac{3x}{2} = 16 \cdot \frac{1}{2} \left( \cos x — \cos 2x \right)$$ $$= 8 (\cos x — \cos 2x)$$

Подставим значения $\cos x = \frac{3}{4}$ и $\cos 2x = \frac{1}{8}$:

$$8 \left( \frac{3}{4} — \frac{1}{8} \right) = 8 \left( \frac{6}{8} — \frac{1}{8} \right) = 8 \cdot \frac{5}{8} = 5$$

Ответ: 5.

б) Известно, что $\cos x = -\frac{3}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < x < \pi$;

1) Значения функций:

Нам нужно найти значения различных тригонометрических функций, используя данное значение $\cos x = -\frac{3}{5}$ и информацию о том, что $\frac{\pi}{2} < x < \pi$, т.е. угол $x$ находится в второй четверти.

1. Вычислим $\sin x$:

Используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$

Подставим $\cos x = -\frac{3}{5}$:

$$\sin^2 x = 1 — \cos^2 x = 1 — \left( -\frac{3}{5} \right)^2 = 1 — \frac{9}{25} = \frac{25}{25} — \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$

Таким образом, $\sin^2 x = \frac{16}{25}$, и:

$$\sin x = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$$

Поскольку $x$ находится во второй четверти, $\sin x$ будет положительным, поэтому:

$$\sin x = \frac{4}{5}$$

2. Вычислим $\sin 2x$:

Используем формулу для удвоенного угла:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cdot \cos x$$

Подставим $\sin x = \frac{4}{5}$ и $\cos x = -\frac{3}{5}$:

$$\sin 2x = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \left( -\frac{3}{5} \right) = -\frac{24}{25}$$

Таким образом, $\sin 2x = -\frac{24}{25}$.

3. Вычислим $\sin 3x$:

Используем формулу для синуса тройного угла:

$$\sin 3x = 3 \sin x — 4 \sin^3 x$$

Подставим $\sin x = \frac{4}{5}$:

$$\sin^3 x = \left( \frac{4}{5} \right)^3 = \frac{64}{125}$$

Теперь вычислим $\sin 3x$:

$$\sin 3x = 3 \cdot \frac{4}{5} — 4 \cdot \frac{64}{125} = \frac{12}{5} — \frac{256}{125} = \frac{300}{125} — \frac{256}{125} = \frac{44}{125}$$

Таким образом, $\sin 3x = \frac{44}{125}$.

2) Значение искомого выражения:

Нам нужно вычислить выражение:

$$125 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{5x}{2}$$

Используем формулу для произведения синуса и косинуса:

$$\sin A \cdot \cos B = \frac{1}{2} \left( \sin(A + B) + \sin(A — B) \right)$$

Подставим $A = \frac{x}{2}$ и $B = \frac{5x}{2}$:

$$\sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{5x}{2} = \frac{1}{2} \left( \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{5x}{2} \right) + \sin \left( \frac{x}{2} — \frac{5x}{2} \right) \right)$$ $$= \frac{1}{2} \left( \sin 3x + \sin 2x \right)$$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$$125 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{5x}{2} = 125 \cdot \frac{1}{2} \left( \sin 3x + \sin 2x \right)$$ $$= \frac{125}{2} \left( \sin 3x + \sin 2x \right)$$

Подставим значения $\sin 3x = \frac{44}{125}$ и $\sin 2x = -\frac{24}{25}$:

$$\frac{125}{2} \left( \frac{44}{125} + \frac{24}{25} \right)$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{24}{25} = \frac{120}{125}$$ $$\frac{44}{125} + \frac{120}{125} = \frac{164}{125}$$

Теперь подставим в выражение:

$$\frac{125}{2} \cdot \frac{164}{125} = \frac{164}{2} = 82$$

Ответ: 82.