ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 29.20 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Во сколько раз:

а) число $(\sin 70^\circ + \sin 50^\circ)^2$ больше числа $\sin^2 80^\circ$;

б) число $(\cos 65^\circ + \sin 65^\circ)^2$ больше числа $\sin^2 70^\circ$;

в) число $(\cos 50^\circ + \cos 40^\circ)^2$ больше числа $\sin^2 85^\circ$;

г) число $(\operatorname{tg} 57^\circ + \operatorname{tg} 3^\circ)^2$ больше числа $(\cos 54^\circ + 0,5)^{-2}$?

Во сколько раз число $a$ больше числа $b$;

а) $a = (\sin 70^\circ + \sin 50^\circ)^2$ и $b = \sin^2 80^\circ$;

Значения чисел:

$$a = \left( 2 \sin \frac{70^\circ + 50^\circ}{2} \cdot \cos \frac{70^\circ — 50^\circ}{2} \right)^2 = 4 \sin^2 60^\circ \cdot \cos^2 10^\circ;$$ $$b = \sin^2 80^\circ = \sin^2 (90^\circ — 10^\circ) = \cos^2 10^\circ;$$

Отношение чисел:

$$\frac{a}{b} = \frac{4 \sin^2 60^\circ \cdot \cos^2 10^\circ}{\cos^2 10^\circ} = 4 \sin^2 60^\circ = 4 \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = 4 \cdot \frac{3}{4} = 3;$$

Ответ: 3.

б) $a = (\cos 65^\circ + \sin 65^\circ)^2$ и $b = \sin^2 70^\circ$;

Значения чисел:

$$a = (\cos (90^\circ — 25^\circ) + \sin 65^\circ)^2 = (\sin 25^\circ + \sin 65^\circ)^2;$$ $$a = \left( 2 \sin \frac{25^\circ + 65^\circ}{2} \cdot \cos \frac{65^\circ — 25^\circ}{2} \right)^2 = 4 \sin^2 45^\circ \cdot \cos^2 20^\circ;$$ $$b = \sin^2 70^\circ = \sin^2 (90^\circ — 20^\circ) = \cos^2 20^\circ;$$

Отношение чисел:

$$\frac{a}{b} = \frac{4 \sin^2 45^\circ \cdot \cos^2 20^\circ}{\cos^2 20^\circ} = 4 \sin^2 45^\circ = 4 \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = 4 \cdot \frac{2}{4} = 2;$$

Ответ: 2.

в) $a = (\cos 50^\circ + \cos 40^\circ)^2$ и $b = \sin^2 85^\circ$;

Значения чисел:

$$a = \left( 2 \cos \frac{50^\circ + 40^\circ}{2} \cdot \cos \frac{50^\circ — 40^\circ}{2} \right)^2 = 4 \cos^2 45^\circ \cdot \cos^2 5^\circ;$$ $$b = \sin^2 85^\circ = \sin^2 (90^\circ — 5^\circ) = \cos^2 5^\circ;$$

Отношение чисел:

$$\frac{a}{b} = \frac{4 \cos^2 45^\circ \cdot \cos^2 5^\circ}{\cos^2 5^\circ} = 4 \cos^2 45^\circ = 4 \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = 4 \cdot \frac{2}{4} = 2;$$

Ответ: 2.

г) $a = (\operatorname{tg} 57^\circ + \operatorname{tg} 3^\circ)^2$ и $b = (\cos 54^\circ + 0,5)^{-2}$;

Значения чисел:

$$a = \left( \frac{\sin 57^\circ}{\cos 57^\circ} + \frac{\sin 3^\circ}{\cos 3^\circ} \right)^2 = \left( \frac{\sin 57^\circ \cdot \cos 3^\circ + \sin 3^\circ \cdot \cos 57^\circ}{\cos 57^\circ \cdot \cos 3^\circ} \right)^2;$$ $$a = \left( \frac{\sin (57^\circ + 3^\circ)}{0,5 (\cos (57^\circ + 3^\circ) + \cos (57^\circ — 3^\circ))} \right)^2 = \left( \frac{2 \sin 60^\circ}{\cos 60^\circ + \cos 54^\circ} \right)^2;$$ $$b = (\cos 54^\circ + \cos 60^\circ)^{-2} = \frac{1}{(\cos 54^\circ + \cos 60^\circ)^2};$$

Отношение чисел:

$$\frac{a}{b} = \left( \frac{2 \sin 60^\circ}{\cos 60^\circ + \cos 54^\circ} \right)^2 \cdot (\cos 54^\circ + \cos 60^\circ)^2;$$ $$\frac{a}{b} = (2 \sin 60^\circ)^2 = 4 \sin^2 60^\circ = 4 \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = 4 \cdot \frac{3}{4} = 3;$$

Ответ: 3.

а) $a = (\sin 70^\circ + \sin 50^\circ)^2$ и $b = \sin^2 80^\circ$

Шаг 1: Представление чисел

Чтобы упростить вычисления, давайте преобразуем выражения для $a$ и $b$ с использованием тригонометрических формул.

Число $a$:

$$a = (\sin 70^\circ + \sin 50^\circ)^2.$$

Применим формулу суммы синусов:

$$\sin x + \sin y = 2 \sin \left( \frac{x + y}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{x — y}{2} \right),$$

подставляем $x = 70^\circ$ и $y = 50^\circ$:

$$\sin 70^\circ + \sin 50^\circ = 2 \sin \left( \frac{70^\circ + 50^\circ}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{70^\circ — 50^\circ}{2} \right) = 2 \sin 60^\circ \cdot \cos 10^\circ.$$

Следовательно:

$$a = \left( 2 \sin 60^\circ \cdot \cos 10^\circ \right)^2 = 4 \sin^2 60^\circ \cdot \cos^2 10^\circ.$$

Число $b$:

$$b = \sin^2 80^\circ.$$

Мы знаем, что $\sin(90^\circ — x) = \cos x$, следовательно:

$$b = \sin^2 80^\circ = \sin^2 (90^\circ — 10^\circ) = \cos^2 10^\circ.$$

Шаг 2: Отношение чисел

Теперь находим отношение $\frac{a}{b}$. Подставляем полученные выражения для $a$ и $b$:

$$\frac{a}{b} = \frac{4 \sin^2 60^\circ \cdot \cos^2 10^\circ}{\cos^2 10^\circ}.$$

Упрощаем:

$$\frac{a}{b} = 4 \sin^2 60^\circ.$$

Так как $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то:

$$\sin^2 60^\circ = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \frac{3}{4}.$$

Следовательно:

$$\frac{a}{b} = 4 \cdot \frac{3}{4} = 3.$$

Ответ: 3.

б) $a = (\cos 65^\circ + \sin 65^\circ)^2$ и $b = \sin^2 70^\circ$

Шаг 1: Представление чисел

Число $a$:

$$a = (\cos 65^\circ + \sin 65^\circ)^2.$$

Применим формулу суммы косинусов и синусов:

$$\cos x + \sin x = \sin(90^\circ — x) + \sin x = \sin 25^\circ + \sin 65^\circ,$$

где $65^\circ = 90^\circ — 25^\circ$. Следовательно:

$$a = \left( 2 \sin \frac{25^\circ + 65^\circ}{2} \cdot \cos \frac{65^\circ — 25^\circ}{2} \right)^2 = 4 \sin^2 45^\circ \cdot \cos^2 20^\circ.$$

Число $b$:

$$b = \sin^2 70^\circ = \sin^2 (90^\circ — 20^\circ) = \cos^2 20^\circ.$$

Шаг 2: Отношение чисел

Находим отношение $\frac{a}{b}$:

$$\frac{a}{b} = \frac{4 \sin^2 45^\circ \cdot \cos^2 20^\circ}{\cos^2 20^\circ} = 4 \sin^2 45^\circ.$$

Так как $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то:

$$\sin^2 45^\circ = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.$$

Следовательно:

$$\frac{a}{b} = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2.$$

Ответ: 2.

в) $a = (\cos 50^\circ + \cos 40^\circ)^2$ и $b = \sin^2 85^\circ$

Шаг 1: Представление чисел

Число $a$:

$$a = (\cos 50^\circ + \cos 40^\circ)^2.$$

Применим формулу для суммы косинусов:

$$\cos x + \cos y = 2 \cos \left( \frac{x + y}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{x — y}{2} \right),$$

подставляем $x = 50^\circ$ и $y = 40^\circ$:

$$\cos 50^\circ + \cos 40^\circ = 2 \cos 45^\circ \cdot \cos 5^\circ.$$

Следовательно:

$$a = \left( 2 \cos 45^\circ \cdot \cos 5^\circ \right)^2 = 4 \cos^2 45^\circ \cdot \cos^2 5^\circ.$$

Число $b$:

$$b = \sin^2 85^\circ = \sin^2 (90^\circ — 5^\circ) = \cos^2 5^\circ.$$

Шаг 2: Отношение чисел

Находим отношение $\frac{a}{b}$:

$$\frac{a}{b} = \frac{4 \cos^2 45^\circ \cdot \cos^2 5^\circ}{\cos^2 5^\circ} = 4 \cos^2 45^\circ.$$

Так как $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то:

$$\cos^2 45^\circ = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.$$

Следовательно:

$$\frac{a}{b} = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2.$$

Ответ: 2.

г) $a = (\operatorname{tg} 57^\circ + \operatorname{tg} 3^\circ)^2$ и $b = (\cos 54^\circ + 0,5)^{-2}$

Шаг 1: Представление чисел

Число $a$:

$$a = \left( \operatorname{tg} 57^\circ + \operatorname{tg} 3^\circ \right)^2 = \left( \frac{\sin 57^\circ}{\cos 57^\circ} + \frac{\sin 3^\circ}{\cos 3^\circ} \right)^2.$$

Сложим эти тангенсы:

$$\operatorname{tg} 57^\circ + \operatorname{tg} 3^\circ = \frac{\sin 57^\circ \cdot \cos 3^\circ + \sin 3^\circ \cdot \cos 57^\circ}{\cos 57^\circ \cdot \cos 3^\circ}.$$

Используем формулу для тангенса суммы:

$$\operatorname{tg}(x + y) = \frac{\sin(x + y)}{\cos(x + y)}.$$

Получаем:

$$a = \left( \frac{\sin (57^\circ + 3^\circ)}{\cos (57^\circ + 3^\circ)} \right)^2 = \left( \frac{2 \sin 60^\circ}{\cos 60^\circ + \cos 54^\circ} \right)^2.$$

Число $b$:

$$b = (\cos 54^\circ + \cos 60^\circ)^{-2} = \frac{1}{(\cos 54^\circ + \cos 60^\circ)^2}.$$

Шаг 2: Отношение чисел

Находим отношение $\frac{a}{b}$:

$$\frac{a}{b} = \left( \frac{2 \sin 60^\circ}{\cos 60^\circ + \cos 54^\circ} \right)^2 \cdot (\cos 54^\circ + \cos 60^\circ)^2.$$

Упрощаем:

$$\frac{a}{b} = (2 \sin 60^\circ)^2 = 4 \sin^2 60^\circ.$$

Так как $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то:

$$\sin^2 60^\circ = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \frac{3}{4}.$$

Следовательно:

$$\frac{a}{b} = 4 \cdot \frac{3}{4} = 3.$$

Ответ: 3.

Ответы:

а) 3

б) 2

в) 2

г) 3