ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 29.21 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \cdot \cos\left(x — \frac{\pi}{3}\right) — 0,25 = 0$;

б) $\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \cdot \cos\left(x — \frac{\pi}{6}\right) = 1$

а) $\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \cdot \cos\left(x — \frac{\pi}{3}\right) — 0,25 = 0$;

$$\frac{\cos\left(\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \left(x — \frac{\pi}{3}\right)\right) + \cos\left(\left(x + \frac{\pi}{3}\right) — \left(x — \frac{\pi}{3}\right)\right)}{2} = 0,25;$$ $$\cos 2x + \cos \frac{2\pi}{3} = 0,5;$$ $$\cos 2x — \frac{1}{2} = \frac{1}{2};$$ $$\cos 2x = 1;$$ $$2x = 2\pi n;$$ $$x = \pi n.$$

Ответ: $\pi n$.

б) $\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \cdot \cos\left(x — \frac{\pi}{6}\right) = 1$;

$$\frac{\sin\left(\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \left(x — \frac{\pi}{6}\right)\right) + \sin\left(\left(x + \frac{\pi}{3}\right) — \left(x — \frac{\pi}{6}\right)\right)}{2} = 1;$$ $$\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) + \sin \frac{\pi}{2} = 2;$$ $$\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) + 1 = 2;$$ $$\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = 1;$$ $$2x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$2x = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{\pi}{3} + 2\pi n\right) = \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi}{6} + \pi n$.

а) $\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \cdot \cos\left(x — \frac{\pi}{3}\right) — 0,25 = 0$

Исходное уравнение:

$$\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \cdot \cos\left(x — \frac{\pi}{3}\right) — 0,25 = 0.$$

Чтобы решить это уравнение, сначала добавим 0,25 к обеим частям уравнения:

$$\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \cdot \cos\left(x — \frac{\pi}{3}\right) = 0,25.$$

Используем формулу для произведения косинусов:
Воспользуемся формулой для произведения косинусов:

$$\cos A \cdot \cos B = \frac{1}{2} \left( \cos(A + B) + \cos(A — B) \right).$$

Подставим $A = x + \frac{\pi}{3}$ и $B = x — \frac{\pi}{3}$:

$$\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \cdot \cos\left(x — \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \left( \cos\left(2x\right) + \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) \right).$$

Подставляем это в исходное уравнение:
Мы получаем:

$$\frac{1}{2} \left( \cos\left(2x\right) + \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) \right) = 0,25.$$

Умножаем обе части уравнения на 2:

$$\cos\left(2x\right) + \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 0,5.$$

Вычисляем значение $\cos \frac{2\pi}{3}$:
Мы знаем, что $\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$, так как $\frac{2\pi}{3}$ — это угол во второй четверти, где косинус отрицателен.

Подставляем это в уравнение:

$$\cos\left(2x\right) — \frac{1}{2} = 0,5.$$

Теперь прибавим $\frac{1}{2}$ к обеим частям:

$$\cos\left(2x\right) = 1.$$

Решаем уравнение $\cos(2x) = 1$:
Косинус равен 1, когда угол $2x$ равен целому числу, кратному $2\pi$:

$$2x = 2\pi n,$$

где $n$ — целое число.

Найдем $x$:
Разделим обе части на 2:

$$x = \pi n.$$

Ответ: $x = \pi n$.

б) $\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \cdot \cos\left(x — \frac{\pi}{6}\right) = 1$

Исходное уравнение:

$$\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \cdot \cos\left(x — \frac{\pi}{6}\right) = 1.$$

Мы применим формулы для суммы и разности углов для синусов и косинусов.

Используем формулу для произведения синуса и косинуса:
Напоминаем, что для произведения синуса и косинуса существует формула:

$$\sin A \cdot \cos B = \frac{1}{2} \left( \sin(A + B) + \sin(A — B) \right).$$

Подставим $A = x + \frac{\pi}{3}$ и $B = x — \frac{\pi}{6}$:

$$\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \cdot \cos\left(x — \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \left( \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \right).$$

Подставляем это в исходное уравнение:
Мы получаем:

$$\frac{1}{2} \left( \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \right) = 1.$$

Так как $\sin \frac{\pi}{2} = 1$, уравнение преобразуется в:

$$\frac{1}{2} \left( \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) + 1 \right) = 1.$$

Умножаем обе части уравнения на 2:

$$\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) + 1 = 2.$$

Вычитаем 1 из обеих частей:

$$\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = 1.$$

Решаем уравнение $\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = 1$:
Синус равен 1, когда угол равен $\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — целое число:

$$2x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Изолируем $x$:
Вычитаем $\frac{\pi}{6}$ из обеих частей:

$$2x = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{6} + 2\pi n.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$2x = \frac{3\pi}{6} — \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

Теперь делим обе части на 2:

$$x = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{3} + 2\pi n \right) = \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$.

Итоговые ответы:

а) $x = \pi n$

б) $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$