ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 29.22 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

a) $2 \sin x \cdot \cos 3x + \sin 4x = 0$;

б) $\sin \frac{x}{2} \cdot \sin \frac{3x}{2} = \frac{1}{2}$

a) $2 \sin x \cdot \cos 3x + \sin 4x = 0$;

$2 \cdot \frac{\sin(x+3x) + \sin(x-3x)}{2} + \sin 4x = 0$;

$(\sin 4x — \sin 2x) + \sin 4x = 0$;

$2 \sin 4x — \sin 2x = 0$;

$4 \sin 2x \cdot \cos 2x — \sin 2x = 0$;

$\sin 2x \cdot (4 \cos 2x — 1) = 0$;

Первое уравнение:

$\sin 2x = 0$;

$2x = \pi n$;

$x = \frac{\pi n}{2}$;

Второе уравнение:

$4 \cos 2x — 1 = 0$;

$\cos 2x = \frac{1}{4}$;

$2x = \pm \arccos \frac{1}{4} + 2\pi n$;

$x = \pm \frac{1}{2} \arccos \frac{1}{4} + \pi n$;

Ответ: $\frac{\pi n}{2}; \pm \frac{1}{2} \arccos \frac{1}{4} + \pi n$.

б) $\sin \frac{x}{2} \cdot \sin \frac{3x}{2} = \frac{1}{2}$;

$\frac{\cos \left( \frac{3x}{2} — \frac{x}{2} \right) — \cos \left( \frac{3x}{2} + \frac{x}{2} \right)}{2} = \frac{1}{2}$;

$\cos x — \cos 2x = 1$;

$\cos x — (\cos^2 x — \sin^2 x) = \cos^2 x + \sin^2 x$;

$2 \cos^2 x — \cos x = 0$;

$\cos x \cdot (2 \cos x — 1) = 0$;

Первое уравнение:

$\cos x = 0$;

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

Второе уравнение:

$2 \cos x — 1 = 0$;

$\cos x = \frac{1}{2}$;

$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$;

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n; \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

а) $2 \sin x \cdot \cos 3x + \sin 4x = 0$

Исходное уравнение:

$$2 \sin x \cdot \cos 3x + \sin 4x = 0.$$

Используем тригонометрическую формулу для произведения синуса и косинуса:
Воспользуемся стандартной формулой для произведения синуса и косинуса:

$$\sin A \cdot \cos B = \frac{1}{2} \left( \sin(A + B) + \sin(A — B) \right).$$

Подставляем $A = x$ и $B = 3x$:

$$2 \sin x \cdot \cos 3x = \sin(x + 3x) + \sin(x — 3x) = \sin 4x + \sin (-2x) = \sin 4x — \sin 2x.$$

Теперь у нас уравнение:

$$\sin 4x — \sin 2x + \sin 4x = 0.$$

Упрощаем уравнение:

$$2 \sin 4x — \sin 2x = 0.$$

Далее факторизуем уравнение:
Выносим $\sin 2x$ за скобки:

$$\sin 2x \cdot (4 \cos 2x — 1) = 0.$$

Решаем полученные уравнения:

• Первое уравнение: $\sin 2x = 0$

  Решаем для $x$:

  $$\sin 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x = \pi n \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi n}{2},$$

  где $n$ — целое число.

• Второе уравнение: $4 \cos 2x — 1 = 0$

  Решаем для $\cos 2x$:

  $$4 \cos 2x = 1 \quad \Rightarrow \quad \cos 2x = \frac{1}{4}.$$

  Решаем для $x$:

  $$2x = \pm \arccos \frac{1}{4} + 2\pi n \quad \Rightarrow \quad x = \pm \frac{1}{2} \arccos \frac{1}{4} + \pi n.$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi n}{2}; \pm \frac{1}{2} \arccos \frac{1}{4} + \pi n.$$

б) $\sin \frac{x}{2} \cdot \sin \frac{3x}{2} = \frac{1}{2}$

Исходное уравнение:

$$\sin \frac{x}{2} \cdot \sin \frac{3x}{2} = \frac{1}{2}.$$

Используем формулу для произведения синусов:
Воспользуемся формулой для произведения синусов:

$$\sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2} \left( \cos(A — B) — \cos(A + B) \right).$$

Подставляем $A = \frac{x}{2}$ и $B = \frac{3x}{2}$:

$$\sin \frac{x}{2} \cdot \sin \frac{3x}{2} = \frac{1}{2} \left( \cos \left( \frac{3x}{2} — \frac{x}{2} \right) — \cos \left( \frac{3x}{2} + \frac{x}{2} \right) \right).$$

Это упрощается до:

$$\sin \frac{x}{2} \cdot \sin \frac{3x}{2} = \frac{1}{2} \left( \cos x — \cos 2x \right).$$

Теперь у нас уравнение:

$$\frac{1}{2} \left( \cos x — \cos 2x \right) = \frac{1}{2}.$$

Умножаем обе части уравнения на 2:

$$\cos x — \cos 2x = 1.$$

Используем разность квадратов:

$$\cos x — \cos 2x = 1 \quad \Rightarrow \quad \cos x — (\cos^2 x — \sin^2 x) = \cos^2 x + \sin^2 x.$$

Так как $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, получаем:

$$\cos x — \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \quad \Rightarrow \quad 2 \cos^2 x — \cos x = 0.$$

Факторизуем уравнение:
Выносим $\cos x$ за скобки:

$$\cos x (2 \cos x — 1) = 0.$$

Решаем полученные уравнения:

• Первое уравнение: $\cos x = 0$

  Решаем для $x$:

  $$\cos x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

• Второе уравнение: $2 \cos x — 1 = 0$

  Решаем для $\cos x$:

  $$2 \cos x = 1 \quad \Rightarrow \quad \cos x = \frac{1}{2}.$$

  Решаем для $x$:

  $$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

Итоговые ответы:

а) $x = \frac{\pi n}{2}; \pm \frac{1}{2} \arccos \frac{1}{4} + \pi n$.

б) $x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.