ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 29.24 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьший положительный и наибольший отрицательный корень уравнения:

а) $\sin x \cdot \sin 3x = 0,5$;

б) $\cos x \cdot \cos 3x = -0,5$

Найти наименьший положительный и наибольший отрицательный корни уравнения:

а) $\sin x \cdot \sin 3x = 0,5$;

$$\frac{\cos(3x — x) — \cos(3x + x)}{2} = \frac{1}{2};$$ $$\cos 2x — \cos 4x = 1;$$ $$\cos 2x — (\cos^2 2x — \sin^2 2x) = \sin^2 2x + \cos^2 2x;$$ $$2 \cos^2 2x — \cos 2x = 0;$$ $$\cos 2x \cdot (2 \cos 2x — 1) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos 2x = 0;$$ $$2x = \pm \arccos 0 + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$2 \cos 2x — 1 = 0;$$ $$\cos 2x = \frac{1}{2};$$ $$2x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Ответ: $\pm \frac{\pi}{6}$.

б) $\cos x \cdot \cos 3x = -0,5$;

$$\frac{\cos(3x + x) + \cos(3x — x)}{2} = -\frac{1}{2};$$ $$\cos 4x + \cos 2x = -1;$$ $$(\cos^2 2x — \sin^2 2x) + \cos 2x = -(\sin^2 2x + \cos^2 2x);$$ $$2 \cos^2 2x + \cos 2x = 0;$$ $$\cos 2x \cdot (2 \cos 2x + 1) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos 2x = 0;$$ $$2x = \pm \arccos 0 + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$2 \cos 2x + 1 = 0;$$ $$\cos 2x = -\frac{1}{2};$$ $$2x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n;$$

Ответ: $\pm \frac{\pi}{4}$.

а)

$$\sin x \cdot \sin 3x = 0,5$$

Для начала воспользуемся тригонометрической формулой для произведения синусов:

$$\sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2} \left[ \cos(A — B) — \cos(A + B) \right]$$

В нашем случае $A = x$ и $B = 3x$. Подставим эти значения:

$$\sin x \cdot \sin 3x = \frac{1}{2} \left[ \cos(x — 3x) — \cos(x + 3x) \right] = \frac{1}{2} \left[ \cos(-2x) — \cos(4x) \right]$$

Используем свойство, что $\cos(-2x) = \cos(2x)$, так что получаем:

$$\sin x \cdot \sin 3x = \frac{1}{2} \left[ \cos(2x) — \cos(4x) \right]$$

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

$$\frac{1}{2} \left[ \cos(2x) — \cos(4x) \right] = 0,5$$

Умножим обе стороны на 2:

$$\cos(2x) — \cos(4x) = 1$$

Теперь преобразуем это уравнение, используя тригонометрическую идентичность для разности косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Подставим $A = 2x$ и $B = 4x$:

$$\cos(2x) — \cos(4x) = -2 \sin\left(\frac{2x + 4x}{2}\right) \sin\left(\frac{2x — 4x}{2}\right) = -2 \sin(3x) \sin(-x)$$

Используя свойство $\sin(-x) = -\sin(x)$, получаем:

$$-2 \sin(3x) (-\sin(x)) = 2 \sin(3x) \sin(x)$$

Теперь подставим это в уравнение:

$$2 \sin(3x) \sin(x) = 1$$

Разделим обе стороны на 2:

$$\sin(3x) \sin(x) = 0,5$$

Теперь перейдем к решению уравнений.

Уравнение 1.1: $\cos 2x = 0$

Для того чтобы решить это уравнение, рассмотрим $\cos 2x = 0$.

Известно, что $\cos \theta = 0$ при $\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — целое число. Следовательно:

$$2x = \frac{\pi}{2} + k\pi$$

Разделим обе стороны на 2:

$$x = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}$$

Таким образом, корни уравнения $\cos 2x = 0$ будут вида $x = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}$, где $k$ — целое число.

Уравнение 1.2: $2 \cos 2x — 1 = 0$

Теперь решим уравнение $2 \cos 2x — 1 = 0$. Из этого уравнения получаем:

$$\cos 2x = \frac{1}{2}$$

Знаем, что $\cos \theta = \frac{1}{2}$ при $\theta = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi$, где $k$ — целое число. Следовательно:

$$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi$$

Разделим обе стороны на 2:

$$x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi$$

Таким образом, корни уравнения $2 \cos 2x — 1 = 0$ будут вида $x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi$, где $k$ — целое число.

Ответ для части а: Наименьший положительный корень — $\frac{\pi}{6}$, наибольший отрицательный корень — $-\frac{\pi}{6}$.

б)

$$\cos x \cdot \cos 3x = -0,5$$

Для начала используем формулу для произведения косинусов:

$$\cos A \cdot \cos B = \frac{1}{2} \left[ \cos(A — B) + \cos(A + B) \right]$$

Подставляем $A = x$ и $B = 3x$:

$$\cos x \cdot \cos 3x = \frac{1}{2} \left[ \cos(x — 3x) + \cos(x + 3x) \right] = \frac{1}{2} \left[ \cos(-2x) + \cos(4x) \right]$$

Так как $\cos(-2x) = \cos(2x)$, получаем:

$$\cos x \cdot \cos 3x = \frac{1}{2} \left[ \cos(2x) + \cos(4x) \right]$$

Теперь подставим это в исходное уравнение:

$$\frac{1}{2} \left[ \cos(2x) + \cos(4x) \right] = -0,5$$

Умножим обе стороны на 2:

$$\cos(2x) + \cos(4x) = -1$$

Теперь преобразуем это уравнение, используя тригонометрическую формулу для суммы косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Подставляем $A = 2x$ и $B = 4x$:

$$\cos(2x) + \cos(4x) = 2 \cos\left( \frac{2x + 4x}{2} \right) \cos\left( \frac{2x — 4x}{2} \right) = 2 \cos(3x) \cos(-x)$$

Так как $\cos(-x) = \cos(x)$, получаем:

$$2 \cos(3x) \cos(x) = -1$$

Теперь подставим это в уравнение:

$$2 \cos(3x) \cos(x) = -1$$

Разделим обе стороны на 2:

$$\cos(3x) \cos(x) = -\frac{1}{2}$$

Теперь переходим к решению уравнений.

Уравнение 1.1: $\cos 2x = 0$

Для того чтобы решить это уравнение, рассмотрим $\cos 2x = 0$.

Знаем, что $\cos \theta = 0$ при $\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — целое число. Следовательно:

$$2x = \frac{\pi}{2} + k\pi$$

Разделим обе стороны на 2:

$$x = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}$$

Таким образом, корни уравнения $\cos 2x = 0$ будут вида $x = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}$, где $k$ — целое число.

Уравнение 1.2: $2 \cos 2x + 1 = 0$

Теперь решим уравнение $2 \cos 2x + 1 = 0$. Из этого уравнения получаем:

$$\cos 2x = -\frac{1}{2}$$

Знаем, что $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ при $\theta = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$, где $k$ — целое число. Следовательно:

$$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$$

Разделим обе стороны на 2:

$$x = \pm \frac{\pi}{3} + k\pi$$

Таким образом, корни уравнения $2 \cos 2x + 1 = 0$ будут вида $x = \pm \frac{\pi}{3} + k\pi$, где $k$ — целое число.

Ответ для части б: Наименьший положительный корень — $\frac{\pi}{4}$, наибольший отрицательный корень — $-\frac{\pi}{4}$.