ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 29.25 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите все значения $x$, при которых числа $a, b, c$ в указанном порядке являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии:

а) $a = \cos 6x$, $b = \cos 4x$, $c = \cos 2x$

б) $a = \sin 2x$, $b = \sin 3x$, $c = \sin 4x$

Найти все значения $x$, при которых числа $a, b, c$ в указанном порядке являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии:

а) $a = \cos 6x$, $b = \cos 4x$, $c = \cos 2x$:

$b^2 = ac$;

$\cos^2 4x = \cos 6x \cdot \cos 2x$;

$$\frac{1 + \cos 8x}{2} = \frac{\cos(6x + 2x) + \cos(6x — 2x)}{2};$$

$1 + \cos 8x = \cos 8x + \cos 4x$;

$\cos 4x = 1$;

$4x = 2\pi n$;

$x = \frac{2\pi n}{4} = \frac{\pi n}{2}$;

Ответ: $\frac{\pi n}{2}$.

б) $a = \sin 2x$, $b = \sin 3x$, $c = \sin 4x$:

$b^2 = ac$;

$\sin^2 3x = \sin 2x \cdot \sin 4x$;

$$\frac{1 — \cos 6x}{2} = \frac{\cos(4x — 2x) — \cos(4x + 2x)}{2};$$

$1 — \cos 6x = \cos 2x — \cos 6x$;

$\cos 2x = 1$;

$2x = 2\pi n$;

$x = \frac{2\pi n}{2} = \pi n$;

Ответ: $\pi n$.

Задача а)

Нужно найти все значения $x$, при которых числа $a = \cos 6x$, $b = \cos 4x$, $c = \cos 2x$ образуют три последовательных члена геометрической прогрессии.

Условие геометрической прогрессии:

Числа $a$, $b$, и $c$ образуют геометрическую прогрессию, если выполняется условие:

$$b^2 = ac$$

Подставим вместо $a$, $b$ и $c$ выражения, указанные в задаче:

$$b^2 = (\cos 4x)^2, \quad a = \cos 6x, \quad c = \cos 2x$$

Тогда:

$$(\cos 4x)^2 = \cos 6x \cdot \cos 2x$$

Шаг 1: Преобразуем выражение с помощью тригонометрических тождеств

Используем формулу для произведения косинусов:

$$\cos A \cdot \cos B = \frac{1}{2} (\cos(A — B) + \cos(A + B))$$

В нашем случае $A = 6x$, $B = 2x$. Подставляем:

$$\cos 6x \cdot \cos 2x = \frac{1}{2} (\cos(6x — 2x) + \cos(6x + 2x)) = \frac{1}{2} (\cos 4x + \cos 8x)$$

Тогда у нас получается следующее уравнение:

$$(\cos 4x)^2 = \frac{1}{2} (\cos 4x + \cos 8x)$$

Шаг 2: Умножим обе части на 2

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части на 2:

$$2(\cos 4x)^2 = \cos 4x + \cos 8x$$

Шаг 3: Преобразуем левую часть

Используем тождество для квадрата косинуса:

$$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$$

Подставляем для $\cos 4x$:

$$(\cos 4x)^2 = \frac{1 + \cos 8x}{2}$$

Теперь у нас получается:

$$2 \cdot \frac{1 + \cos 8x}{2} = \cos 4x + \cos 8x$$

Упростим:

$$1 + \cos 8x = \cos 4x + \cos 8x$$

Шаг 4: Убираем $\cos 8x$ с обеих сторон

Теперь можем вычесть $\cos 8x$ из обеих частей:

$$1 = \cos 4x$$

Шаг 5: Решаем уравнение $\cos 4x = 1$

Решаем это уравнение:

$$\cos 4x = 1$$

Это уравнение выполняется, когда:

$$4x = 2\pi n$$

где $n$ — целое число.

Шаг 6: Находим значение $x$

Делим обе части на 4:

$$x = \frac{2\pi n}{4} = \frac{\pi n}{2}$$

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}$.

Задача б)

Теперь рассмотрим задачу с $a = \sin 2x$, $b = \sin 3x$, $c = \sin 4x$, где нужно найти все значения $x$, при которых числа $a$, $b$, $c$ являются членами геометрической прогрессии.

Условие геометрической прогрессии:

Для чисел $a = \sin 2x$, $b = \sin 3x$, $c = \sin 4x$ условие геометрической прогрессии также выражается через формулу:

$$b^2 = ac$$

Подставляем:

$$(\sin 3x)^2 = \sin 2x \cdot \sin 4x$$

Шаг 1: Применяем тригонометрическое тождество

Используем тождество для произведения синусов:

$$\sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A — B) — \cos(A + B)]$$

В нашем случае $A = 2x$, $B = 4x$. Подставляем:

$$\sin 2x \cdot \sin 4x = \frac{1}{2} [\cos(4x — 2x) — \cos(4x + 2x)] = \frac{1}{2} [\cos 2x — \cos 6x]$$

Теперь у нас получается следующее уравнение:

$$(\sin 3x)^2 = \frac{1}{2} (\cos 2x — \cos 6x)$$

Шаг 2: Преобразуем левую часть

Используем тождество для квадрата синуса:

$$\sin^2 \theta = \frac{1 — \cos 2\theta}{2}$$

Для $\sin 3x$ получаем:

$$(\sin 3x)^2 = \frac{1 — \cos 6x}{2}$$

Теперь у нас уравнение:

$$\frac{1 — \cos 6x}{2} = \frac{1}{2} (\cos 2x — \cos 6x)$$

Шаг 3: Умножаем обе части на 2

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части на 2:

$$1 — \cos 6x = \cos 2x — \cos 6x$$

Шаг 4: Убираем $\cos 6x$ с обеих сторон

Теперь вычитаем $\cos 6x$ из обеих частей:

$$1 = \cos 2x$$

Шаг 5: Решаем уравнение $\cos 2x = 1$

Решаем уравнение:

$$\cos 2x = 1$$

Это уравнение выполняется, когда:

$$2x = 2\pi n$$

где $n$ — целое число.

Шаг 6: Находим значение $x$

Делим обе части на 2:

$$x = \pi n$$

Ответ: $x = \pi n$.

Итоговый ответ:

• Для задачи а) $x = \frac{\pi n}{2}$.
• Для задачи б) $x = \pi n$.