ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 29.27 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

а)

$$\{\begin{array}{l}\sin \frac{x+y}{2}\cdot \cos \frac{x-y}{2}=\frac{1}{2};\\ 2\sin \frac{x-y}{2}\cdot \cos \frac{x+y}{2}=\frac{1}{3}\mathrm{.}\end{array}$$

б)

$$\{\begin{array}{l}\cos (x+y)\cdot \cos (x-y)=\frac{1}{4};\\ \sin (x+y)\cdot \sin (x-y)=\frac{3}{4}\mathrm{.}\end{array}$$

а)

$$\begin{cases} \sin \frac{x+y}{2} \cdot \cos \frac{x-y}{2} = \frac{1}{2}; \\ 2 \sin \frac{x-y}{2} \cdot \cos \frac{x+y}{2} = \frac{1}{3}. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$\sin \frac{x+y}{2} \cdot \cos \frac{x-y}{2} = \frac{1}{2};$$ $$\frac{\sin \left( \frac{x+y}{2} + \frac{x-y}{2} \right) + \sin \left( \frac{x+y}{2} — \frac{x-y}{2} \right)}{2} = \frac{1}{2};$$ $$\sin x + \sin y = 1;$$ $$\sin y = 1 — \sin x;$$

Из второго уравнения:

$$2 \sin \frac{x-y}{2} \cdot \cos \frac{x+y}{2} = \frac{1}{3};$$ $$\frac{\sin \left( \frac{x-y}{2} + \frac{x+y}{2} \right) + \sin \left( \frac{x-y}{2} — \frac{x+y}{2} \right)}{2} = \frac{1}{3};$$ $$\sin x — \sin y = \frac{1}{3};$$

Подставим значение $\sin y$:

$$\sin x — (1 — \sin x) = \frac{1}{3};$$ $$2 \sin x = \frac{4}{3};$$ $$\sin x = \frac{2}{3};$$ $$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{2}{3} + \pi n;$$

Подставим значение $\sin x$:

$$\sin y = 1 — \frac{2}{3};$$ $$\sin y = \frac{1}{3};$$ $$y = (-1)^k \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi k;$$

Ответ: $\left( (-1)^n \cdot \arcsin \frac{2}{3} + \pi n; (-1)^k \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi k \right)$.

б)

$$\begin{cases} \cos(x+y) \cdot \cos(x-y) = \frac{1}{4}; \\ \sin(x+y) \cdot \sin(x-y) = \frac{3}{4}. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$\cos(x+y) \cdot \cos(x-y) = \frac{1}{4};$$ $$\frac{\cos((x+y)+(x-y)) + \cos((x+y)-(x-y))}{2} = \frac{1}{4};$$ $$\cos 2x + \cos 2y = \frac{1}{2};$$ $$\cos 2y = \frac{1}{2} — \cos 2x;$$

Из второго уравнения:

$$\sin(x+y) \cdot \sin(x-y) = \frac{3}{4};$$ $$\frac{\cos((x+y)-(x-y)) — \cos((x+y)+(x-y))}{2} = \frac{3}{4};$$ $$\cos 2y — \cos 2x = \frac{3}{2};$$

Подставим значение $\cos 2y$:

$$\left( \frac{1}{2} — \cos 2x \right) — \cos 2x = \frac{3}{2};$$ $$-2 \cos 2x = 1;$$ $$\cos 2x = -\frac{1}{2};$$ $$2x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n;$$ $$2x = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n.$$

Подставим значение $\cos 2x$:

$$\cos 2y = \frac{1}{2} — \left( -\frac{1}{2} \right) = 1;$$ $$2y = 2\pi k;$$ $$y = \pi k;$$

Ответ: $\left( \pm \frac{\pi}{3} + \pi n; \pi k \right)$.

а)

Дано два уравнения:

$$\begin{cases} \sin \frac{x+y}{2} \cdot \cos \frac{x-y}{2} = \frac{1}{2}; \\ 2 \sin \frac{x-y}{2} \cdot \cos \frac{x+y}{2} = \frac{1}{3}. \end{cases}$$

1) Из первого уравнения:

$$\sin \frac{x+y}{2} \cdot \cos \frac{x-y}{2} = \frac{1}{2}$$

Используем формулу произведения синуса и косинуса:

$$\sin A \cdot \cos B = \frac{1}{2} \left[ \sin(A+B) + \sin(A-B) \right]$$

Подставим $A = \frac{x+y}{2}$ и $B = \frac{x-y}{2}$ в эту формулу:

$$\sin \frac{x+y}{2} \cdot \cos \frac{x-y}{2} = \frac{1}{2} \left[ \sin \left( \frac{x+y}{2} + \frac{x-y}{2} \right) + \sin \left( \frac{x+y}{2} — \frac{x-y}{2} \right) \right]$$

Теперь упростим выражения в аргументах синусов:

$$\frac{x+y}{2} + \frac{x-y}{2} = x, \quad \frac{x+y}{2} — \frac{x-y}{2} = y$$

Получаем:

$$\frac{1}{2} \left[ \sin x + \sin y \right] = \frac{1}{2}$$

Умножаем обе стороны на 2:

$$\sin x + \sin y = 1$$

Выразим $\sin y$ через $\sin x$:

$$\sin y = 1 — \sin x$$

2) Из второго уравнения:

$$2 \sin \frac{x-y}{2} \cdot \cos \frac{x+y}{2} = \frac{1}{3}$$

Используем ту же формулу для произведения синуса и косинуса, как и в предыдущем шаге:

$$2 \sin \frac{x-y}{2} \cdot \cos \frac{x+y}{2} = \frac{1}{3}$$

Запишем это как:

$$\sin \frac{x-y}{2} \cdot \cos \frac{x+y}{2} = \frac{1}{6}$$

Применим формулу для произведения синуса и косинуса:

$$\sin \frac{x-y}{2} \cdot \cos \frac{x+y}{2} = \frac{1}{2} \left[ \sin \left( \frac{x-y}{2} + \frac{x+y}{2} \right) + \sin \left( \frac{x-y}{2} — \frac{x+y}{2} \right) \right]$$

Упростим аргументы синусов:

$$\frac{x-y}{2} + \frac{x+y}{2} = x, \quad \frac{x-y}{2} — \frac{x+y}{2} = -y$$

Получаем:

$$\frac{1}{2} \left[ \sin x + \sin (-y) \right] = \frac{1}{6}$$

Так как $\sin (-y) = -\sin y$, то:

$$\frac{1}{2} \left[ \sin x — \sin y \right] = \frac{1}{6}$$

Умножаем обе стороны на 2:

$$\sin x — \sin y = \frac{1}{3}$$

Теперь подставим $\sin y = 1 — \sin x$ из первого уравнения:

$$\sin x — (1 — \sin x) = \frac{1}{3}$$

Упростим:

$$\sin x — 1 + \sin x = \frac{1}{3}$$ $$2 \sin x — 1 = \frac{1}{3}$$ $$2 \sin x = \frac{4}{3}$$ $$\sin x = \frac{2}{3}$$

Теперь находим значение $x$ через арксинус:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{2}{3} + \pi n$$

3) Подставим значение $\sin x$ в выражение для $\sin y$:

$$\sin y = 1 — \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$

Теперь находим значение $y$:

$$y = (-1)^k \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi k$$

Ответ:

$$\left( (-1)^n \cdot \arcsin \frac{2}{3} + \pi n; (-1)^k \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi k \right)$$

б)

Дано два уравнения:

$$\begin{cases} \cos(x+y) \cdot \cos(x-y) = \frac{1}{4}; \\ \sin(x+y) \cdot \sin(x-y) = \frac{3}{4}. \end{cases}$$

1) Из первого уравнения:

$$\cos(x+y) \cdot \cos(x-y) = \frac{1}{4}$$

Используем формулу для произведения косинусов:

$$\cos A \cdot \cos B = \frac{1}{2} \left[ \cos(A+B) + \cos(A-B) \right]$$

Подставляем $A = x+y$ и $B = x-y$:

$$\cos(x+y) \cdot \cos(x-y) = \frac{1}{2} \left[ \cos((x+y)+(x-y)) + \cos((x+y)-(x-y)) \right]$$

Упростим выражения в аргументах косинусов:

$$(x+y) + (x-y) = 2x, \quad (x+y) — (x-y) = 2y$$

Получаем:

$$\frac{1}{2} \left[ \cos 2x + \cos 2y \right] = \frac{1}{4}$$

Умножим обе стороны на 2:

$$\cos 2x + \cos 2y = \frac{1}{2}$$

Выразим $\cos 2y$:

$$\cos 2y = \frac{1}{2} — \cos 2x$$

2) Из второго уравнения:

$$\sin(x+y) \cdot \sin(x-y) = \frac{3}{4}$$

Используем формулу для произведения синусов:

$$\sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2} \left[ \cos(A-B) — \cos(A+B) \right]$$

Подставляем $A = x+y$ и $B = x-y$:

$$\sin(x+y) \cdot \sin(x-y) = \frac{1}{2} \left[ \cos((x+y)-(x-y)) — \cos((x+y)+(x-y)) \right]$$

Упростим выражения в аргументах косинусов:

$$(x+y) — (x-y) = 2y, \quad (x+y) + (x-y) = 2x$$

Получаем:

$$\frac{1}{2} \left[ \cos 2y — \cos 2x \right] = \frac{3}{4}$$

Умножим обе стороны на 2:

$$\cos 2y — \cos 2x = \frac{3}{2}$$

3) Подставим выражение для $\cos 2y$ из первого уравнения:

$$\left( \frac{1}{2} — \cos 2x \right) — \cos 2x = \frac{3}{2}$$

Упростим:

$$\frac{1}{2} — 2 \cos 2x = \frac{3}{2}$$ $$-2 \cos 2x = 1$$ $$\cos 2x = -\frac{1}{2}$$

Теперь находим значение $x$ через арккосинус:

$$2x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n$$ $$2x = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$ $$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$$

4) Подставим значение $\cos 2x$ в выражение для $\cos 2y$:

$$\cos 2y = \frac{1}{2} — \left( -\frac{1}{2} \right) = 1$$

Теперь находим значение $y$:

$$2y = 2\pi k$$ $$y = \pi k$$

Ответ:

$$\left( \pm \frac{\pi}{3} + \pi n; \pi k \right)$$