ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 29.7 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а) $2\sin t\cdot \sin 2t+\cos 3t=\cos t$;

б) $\sin a-2\sin (\frac{a}{2}-{15}^{\circ })\cdot \cos (\frac{a}{2}+{15}^{\circ })=\frac{1}{2}$

Доказать тождество:

а) $2\sin t\cdot \sin 2t+\cos 3t=\cos t$;

$$2\cdot \frac{\cos (2t-t)-\cos (2t+t)}{2}+\cos 3t=\cos t;$$$$(\cos t-\cos 3t)+\cos 3t=\cos t;$$$$\cos t=\cos t;$$

Тождество доказано.

б) $\sin a-2\sin (\frac{a}{2}-{15}^{\circ })\cdot \cos (\frac{a}{2}+{15}^{\circ })=\frac{1}{2};$

$$\sin a-2\cdot \frac{\sin ((\frac{a}{2}-{15}^{\circ })+(\frac{a}{2}+{15}^{\circ }))+\sin ((\frac{a}{2}-{15}^{\circ })-(\frac{a}{2}+{15}^{\circ }))}{2}=\frac{1}{2};$$$$\sin a-(\sin a-\sin {30}^{\circ })=\frac{1}{2};$$$$\sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2};$$$$\frac{1}{2}=\frac{1}{2};$$

Тождество доказано.

а)

Тождество: $2\sin t\cdot \sin 2t+\cos 3t=\cos t$.

Шаг 1: Используем формулу произведения синусов

Для начала, воспользуемся известной тригонометрической формулой для произведения двух синусов:

$$2\sin A\cdot \sin B=\cos (A-B)-\cos (A+B)$$

Заменим $A=t$, $B=2t$. Таким образом, получаем:

$$2\sin t\cdot \sin 2t=\cos (t-2t)-\cos (t+2t)=\cos (-t)-\cos (3t)$$

Так как $\cos (-t)=\cos t$, то:

$$2\sin t\cdot \sin 2t=\cos t-\cos 3t$$

Шаг 2: Подставляем в исходное выражение

Теперь подставим полученное выражение $2\sin t\cdot \sin 2t=\cos t-\cos 3t$ в исходное тождество:

$$\cos t-\cos 3t+\cos 3t=\cos t$$

Шаг 3: Упростим выражение

Теперь видим, что $-\cos 3t+\cos 3t=0$, и остается:

$$\cos t=\cos t$$

Это очевидное тождество, которое верно для всех значений $t$.

Таким образом, тождество доказано.

б)

Тождество: $\sin a-2\sin (\frac{a}{2}-{15}^{\circ })\cdot \cos (\frac{a}{2}+{15}^{\circ })=\frac{1}{2}$.

Шаг 1: Используем формулу для произведения синуса и косинуса

Для начала, вспомним формулу для произведения синуса и косинуса:

$$2\sin A\cdot \cos B=\sin (A+B)+\sin (A-B)$$

Применим эту формулу к выражению $2\sin (\frac{a}{2}-{15}^{\circ })\cdot \cos (\frac{a}{2}+{15}^{\circ })$, где $A=\frac{a}{2}-{15}^{\circ }$ и $B=\frac{a}{2}+{15}^{\circ }$. Тогда:

$$2\sin (\frac{a}{2}-{15}^{\circ })\cdot \cos (\frac{a}{2}+{15}^{\circ })=\sin ((\frac{a}{2}-{15}^{\circ })+$$

$$+(\frac{a}{2}+{15}^{\circ }))+\sin ((\frac{a}{2}-{15}^{\circ })-(\frac{a}{2}+{15}^{\circ }))$$

Шаг 2: Упростим выражение внутри синусов

Упростим выражения внутри синусов:

• В первом синусе: $(\frac{a}{2}-{15}^{\circ })+(\frac{a}{2}+{15}^{\circ })=a$
• Во втором синусе: $(\frac{a}{2}-{15}^{\circ })-(\frac{a}{2}+{15}^{\circ })=-{30}^{\circ }$

Таким образом, получаем:

$$2\sin (\frac{a}{2}-{15}^{\circ })\cdot \cos (\frac{a}{2}+{15}^{\circ })=\sin a+\sin (-{30}^{\circ })$$

Шаг 3: Применяем свойство синуса

Так как $\sin (-{30}^{\circ })=-\sin {30}^{\circ }$, то:

$$2\sin (\frac{a}{2}-{15}^{\circ })\cdot \cos (\frac{a}{2}+{15}^{\circ })=\sin a-\sin {30}^{\circ }$$

Шаг 4: Подставляем в исходное выражение

Теперь подставим это выражение в исходное тождество:

$$\sin a-(\sin a-\sin {30}^{\circ })=\frac{1}{2}$$

Шаг 5: Упростим

Преобразуем левую часть:

$$\sin a-\sin a+\sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2}$$$$\sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2}$$

Таким образом, получаем:

$$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$

Это очевидное тождество, которое также верно.

Таким образом, тождество доказано.