ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 29.8 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а)

$${\sin }^{2}x+\cos (\frac{\pi }{3}-x)\cdot \cos (\frac{\pi }{3}+x)=\frac{1}{4};$$

б)

$$4\sin (\frac{\pi }{3}-x)\cdot \sin (\frac{\pi }{3}+x)=3-4{\sin }^{2}x$$

Доказать тождество:

а)

$${\sin }^{2}x+\cos (\frac{\pi }{3}-x)\cdot \cos (\frac{\pi }{3}+x)=\frac{1}{4};$$$$\frac{1-\cos 2x}{2}+\frac{\cos ((\frac{\pi }{3}+x)+(\frac{\pi }{3}-x))+\cos ((\frac{\pi }{3}+x)-(\frac{\pi }{3}-x))}{2}=\frac{1}{4};$$$$\frac{1}{2}(1-\cos 2x+\cos \frac{2\pi }{3}+\cos 2x)=\frac{1}{4};$$$$\frac{1}{2}(1+\cos \frac{2\pi }{3})=\frac{1}{4};$$$$\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2})=\frac{1}{4};$$$$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4};$$$$\frac{1}{4}=\frac{1}{4};$$

Тождество доказано.

б)

$$4\sin (\frac{\pi }{3}-x)\cdot \sin (\frac{\pi }{3}+x)=3-4{\sin }^{2}x;$$$$4\cdot \frac{\cos ((\frac{\pi }{3}+x)-(\frac{\pi }{3}-x))-\cos ((\frac{\pi }{3}+x)+(\frac{\pi }{3}-x))}{2}=3-4{\sin }^{2}x;$$$$2(\cos 2x-\cos \frac{2\pi }{3})=3-4{\sin }^{2}x;$$$$2\cos 2x+1=3-4{\sin }^{2}x;$$$$2\cos 2x+4{\sin }^{2}x=3-1;$$$$\cos 2x+2{\sin }^{2}x=1;$$$${\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x+2{\sin }^{2}x=1;$$$${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1;$$$$1=1;$$

Тождество доказано.

Доказать тождество:

а)

$${\sin }^{2}x+\cos (\frac{\pi }{3}-x)\cdot \cos (\frac{\pi }{3}+x)=\frac{1}{4}$$

Шаг 1: Раскроем произведение косинусов.
Используем формулу для произведения косинусов:

$$\cos A\cdot \cos B=\frac{1}{2}[\cos (A-B)+\cos (A+B)]$$

Применим её к выражению $\cos (\frac{\pi }{3}-x)\cdot \cos (\frac{\pi }{3}+x)$:

$$\cos (\frac{\pi }{3}-x)\cdot \cos (\frac{\pi }{3}+x)=\frac{1}{2}[\cos ((\frac{\pi }{3}+x)-(\frac{\pi }{3}-x))+$$

$$+\cos ((\frac{\pi }{3}+x)+(\frac{\pi }{3}-x))]$$

Шаг 2: Упростим аргументы косинусов.

Для первого косинуса:

$$\cos ((\frac{\pi }{3}+x)-(\frac{\pi }{3}-x))=\cos \left(2x\right)$$

Для второго косинуса:

$$\cos ((\frac{\pi }{3}+x)+(\frac{\pi }{3}-x))=\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)$$

Таким образом, мы получаем:

$$\cos (\frac{\pi }{3}-x)\cdot \cos (\frac{\pi }{3}+x)=\frac{1}{2}[\cos 2x+\cos \frac{2\pi }{3}]$$

Шаг 3: Подставим это в исходное выражение.

Подставляем это в исходное тождество:

$${\sin }^{2}x+\cos (\frac{\pi }{3}-x)\cdot \cos (\frac{\pi }{3}+x)={\sin }^{2}x+\frac{1}{2}[\cos 2x+\cos \frac{2\pi }{3}]$$

Шаг 4: Упростим выражение.

Теперь у нас есть:

$${\sin }^{2}x+\frac{1}{2}[\cos 2x+\cos \frac{2\pi }{3}]=\frac{1}{4}$$

Шаг 5: Упростим $\cos \frac{2\pi }{3}$.

Значение $\cos \frac{2\pi }{3}$ известно:

$$\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$$

Теперь подставим это значение:

$${\sin }^{2}x+\frac{1}{2}[\cos 2x-\frac{1}{2}]=\frac{1}{4}$$

Шаг 6: Упростим выражение.

Раскроем скобки:

$${\sin }^{2}x+\frac{1}{2}\cos 2x-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$$

Шаг 7: Переносим все на одну сторону.

Переносим $\frac{1}{4}$ с правой стороны на левую:

$${\sin }^{2}x+\frac{1}{2}\cos 2x-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0$$$${\sin }^{2}x+\frac{1}{2}\cos 2x-\frac{1}{2}=0$$

Шаг 8: Используем идентичность ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$.

Преобразуем ${\sin }^{2}x$ с помощью стандартной тригонометрической идентичности ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$:

$$(1-{\cos }^{2}x)+\frac{1}{2}\cos 2x-\frac{1}{2}=0$$

Шаг 9: Упростим и получим нужное равенство.

После упрощений получаем:

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$$

Тождество доказано.

б)

$$4\sin (\frac{\pi }{3}-x)\cdot \sin (\frac{\pi }{3}+x)=3-4{\sin }^{2}x;$$

Шаг 1: Используем формулу для произведения синусов.
Используем формулу для произведения синусов:

$$\sin A\cdot \sin B=\frac{1}{2}[\cos (A-B)-\cos (A+B)]$$

Применим её к выражению:

$$4\sin (\frac{\pi }{3}-x)\cdot \sin (\frac{\pi }{3}+x)=4\cdot \frac{1}{2}[\cos ((\frac{\pi }{3}+x)-$$

$$-(\frac{\pi }{3}-x))-\cos ((\frac{\pi }{3}+x)+(\frac{\pi }{3}-x))]$$

Шаг 2: Упростим выражения для косинусов.

Для первого косинуса:

$$\cos ((\frac{\pi }{3}+x)-(\frac{\pi }{3}-x))=\cos (2x)$$

Для второго косинуса:

$$\cos ((\frac{\pi }{3}+x)+(\frac{\pi }{3}-x))=\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)$$

Подставляем это в исходное выражение:

$$4\cdot \frac{1}{2}[\cos 2x-\cos \frac{2\pi }{3}]=3-4{\sin }^{2}x$$$$2[\cos 2x-\cos \frac{2\pi }{3}]=3-4{\sin }^{2}x$$

Шаг 3: Подставим значение $\cos \frac{2\pi }{3}$.

Знаем, что $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$, подставим это:

$$2[\cos 2x+\frac{1}{2}]=3-4{\sin }^{2}x$$

Шаг 4: Раскроем скобки.

Раскроем скобки:

$$2\cos 2x+1=3-4{\sin }^{2}x$$

Шаг 5: Переносим все на одну сторону.

Переносим 1 с левой стороны:

$$2\cos 2x+4{\sin }^{2}x=3-1$$$$2\cos 2x+4{\sin }^{2}x=2$$

Шаг 6: Упрощаем выражение.

Теперь получаем:

$$\cos 2x+2{\sin }^{2}x=1$$

Шаг 7: Используем идентичность для $\cos 2x$.

Преобразуем $\cos 2x$ через стандартную формулу $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$:

$$({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)+2{\sin }^{2}x=1$$$${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$$

Тождество доказано.