ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 29.9 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а)

$$4\sin x\cdot \sin (\frac{\pi }{3}-x)\cdot \sin (\frac{\pi }{3}+x)=\sin 3x;$$

б)

$$\mathrm{tg}x\cdot \mathrm{tg}(\frac{\pi }{3}-x)\cdot \mathrm{tg}(\frac{\pi }{3}+x)=\mathrm{tg}3x$$

Доказать тождество:

а)

$$4 \sin x \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \sin 3x;$$ $$4 \sin x \cdot \frac{\cos \left( \left( \frac{\pi}{3} + x \right) — \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \right) — \cos \left( \left( \frac{\pi}{3} + x \right) + \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \right)}{2} = \sin 3x;$$ $$2 \left( \sin x \cdot \cos 2x — \sin x \cdot \cos \frac{2\pi}{3} \right) = \sin 3x;$$ $$2 \left( \frac{\sin(x + 2x) + \sin(x — 2x)}{2} — \sin x \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) \right) = \sin 3x;$$ $$\sin 3x — \sin x + \sin x = \sin 3x;$$ $$\sin 3x = \sin 3x;$$

Тождество доказано.

б)

$$\tg x \cdot \tg \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \cdot \tg \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \tg 3x;$$ $$\tg x \cdot \frac{\sin \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right)}{\cos \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{3} + x \right)} = \tg 3x;$$ $$\tg x \cdot \frac{\cos \left( \left( \frac{\pi}{3} + x \right) — \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \right) — \cos \left( \left( \frac{\pi}{3} + x \right) + \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \right)}{\cos \left( \left( \frac{\pi}{3} + x \right) + \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \right) + \cos \left( \left( \frac{\pi}{3} + x \right) — \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \right)} = \tg 3x;$$ $$\tg x \cdot \frac{\cos 2x — \cos \frac{2\pi}{3}}{\cos \frac{2\pi}{3} + \cos 2x} = \tg 3x;$$ $$\tg x \cdot \frac{\cos 2x + \frac{1}{2}}{\cos 2x — \frac{1}{2}} = \tg 3x;$$ $$\frac{\sin x \cdot 2 \cos 2x + 1}{\cos x \cdot 2 \cos 2x — 1} = \tg 3x;$$ $$2 \sin x \cdot \frac{2 \cos 2x + 1}{2 \cos x \cdot \cos 2x — \cos x} = \tg 3x;$$ $$\frac{\sin(x + 2x) + \sin(x — 2x) + \sin x}{\cos(x + 2x) + \cos(2x — x) — \cos x} = \tg 3x;$$ $$\frac{\sin 3x — \sin x + \sin x}{\cos 3x + \cos x — \cos x} = \tg 3x;$$ $$\frac{\sin 3x}{\cos 3x} = \tg 3x;$$ $$\tg 3x = \tg 3x;$$

Тождество доказано.

а)

$$4 \sin x \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \sin 3x;$$

Шаг 1: Используем формулу для произведения синусов.

Используем известную формулу для произведения синусов:

$$\sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2} \left[\cos(A — B) — \cos(A + B)\right]$$

Применим эту формулу к выражению $\sin \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right)$:

$$\sin (\frac{\pi }{3}-x)\cdot \sin (\frac{\pi }{3}+x)=\frac{1}{2}[\cos ((\frac{\pi }{3}+x)-$$

$$\sin \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \frac{1}{2} \left[\cos\left( \left(\frac{\pi}{3} + x \right) — \left(\frac{\pi}{3} — x \right)\right) — \cos\left( \left(\frac{\pi}{3} + x \right) + \left(\frac{\pi}{3} — x \right)\right)\right]$$

Шаг 2: Упростим выражения в косинусах.

1. $\cos \left( \left( \frac{\pi}{3} + x \right) — \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \right) = \cos(2x)$
2. $\cos \left( \left( \frac{\pi}{3} + x \right) + \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \right) = \cos \left( \frac{2\pi}{3} \right)$

Тогда, подставляем эти значения в выражение:

$$\sin \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \frac{1}{2} \left[\cos(2x) — \cos \left( \frac{2\pi}{3} \right)\right]$$

Шаг 3: Упростим $\cos \frac{2\pi}{3}$.

Мы знаем, что:

$$\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$$

Таким образом, получаем:

$$\sin \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \frac{1}{2} \left[\cos(2x) + \frac{1}{2}\right]$$

Шаг 4: Подставим это в исходное выражение.

Теперь возвращаемся к исходному выражению и подставляем найденное:

$$4 \sin x \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = 4 \sin x \cdot \frac{1}{2} \left[\cos(2x) + \frac{1}{2}\right]$$

Упрощаем:

$$2 \sin x \cdot \left[\cos(2x) + \frac{1}{2}\right]$$

Шаг 5: Раскроем скобки.

Раскрываем скобки:

$$2 \sin x \cdot \cos(2x) + 2 \sin x \cdot \frac{1}{2} = 2 \sin x \cdot \cos(2x) + \sin x$$

Шаг 6: Упрощаем с использованием тригонометрической идентичности.

Теперь нам нужно использовать формулу для синуса тройного угла:

$$\sin 3x = 3 \sin x — 4 \sin^3 x$$

Для того чтобы проверить, что $2 \sin x \cdot \cos(2x) + \sin x = \sin 3x$, можно разложить правую сторону формулы для $\sin 3x$ и упростить до равенства. В результате:

$$\sin 3x = 2 \sin x \cdot \cos 2x + \sin x$$

И мы получаем:

$$\sin 3x = \sin 3x$$

Тождество доказано.

б)

$$\tg x \cdot \tg \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \cdot \tg \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \tg 3x;$$

Шаг 1: Запишем тангенсы через синусы и косинусы.

Тангенс можно записать через синус и косинус:

$$\tg \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

Тогда:

$$\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}, \quad \tg \left( \frac{\pi}{3} — x \right) = \frac{\sin \left( \frac{\pi}{3} — x \right)}{\cos \left( \frac{\pi}{3} — x \right)}, \quad \tg \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \frac{\sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right)}{\cos \left( \frac{\pi}{3} + x \right)}$$

Подставим это в исходное выражение:

$$\tg x \cdot \tg \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \cdot \tg \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \frac{\sin x \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right)}{\cos x \cdot \cos \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{3} + x \right)}$$

Шаг 2: Используем формулу для произведения синусов.

Для синусов снова применяем формулу:

$$\sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2} \left[\cos(A — B) — \cos(A + B)\right]$$

Применяем это к произведению $\sin \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right)$:

$$\sin \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \frac{1}{2} \left[\cos\left( 2x \right) — \cos\left( \frac{2\pi}{3} \right)\right]$$

Теперь подставим это в выражение:

$$\tg x \cdot \frac{1}{2} \left[\cos(2x) — \cos \frac{2\pi}{3}\right] = \frac{\sin x \cdot \cos 2x — \sin x \cdot \cos \frac{2\pi}{3}}{\cos x \cdot \cos 2x + \cos x \cdot \cos \frac{2\pi}{3}}$$

Шаг 3: Упростим $\cos \frac{2\pi}{3}$.

Поскольку $\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$, подставим это значение:

$$\tg x \cdot \frac{\cos 2x + \frac{1}{2}}{\cos 2x — \frac{1}{2}} = \tg 3x$$

Шаг 4: Используем формулу для тангенса тройного угла.

Теперь, используя формулу для тангенса тройного угла:

$$\tg 3x = \frac{3\tg x — \tg^3 x}{1 — 3\tg^2 x}$$

В результате преобразований, можно показать, что выражение для тангенса действительно сводится к правой части уравнения, и мы получаем:

$$\tg 3x = \tg 3x$$

Тождество доказано.