ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 3.14 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите хотя бы одно иррациональное число, расположенное на отрезке:

а) [0; 1];

б) [1,2; 1,22];

в) [1,2; 1,6];

г) [1,2; 1,201].

Найти хотя бы одно иррациональное число, расположенное на отрезке:

а) $[0; 1]$;

Диапазон искомых чисел:

$$0 < x < 1;$$ $$0 < x^2 < 1;$$

Пример иррационального числа:

$$x^2 = \frac{7}{10} = 0,7;$$ $$x = \sqrt{0,7};$$

Ответ: $x = \sqrt{0,7}$.

б) $[1,2; 1,22]$;

Диапазон искомых чисел:

$$1,2 < x < 1,22;$$ $$1,44 < x^2 < 1,4884;$$

Пример иррационального числа:

$$x^2 = \frac{151}{100} = 1,51;$$ $$x = \sqrt{1,51};$$

Ответ: $x = \sqrt{1,51}$.

в) $[1,2; 1,6]$;

Диапазон искомых чисел:

$$1,2 < x < 1,6;$$ $$1,728 < x^3 < 4,096;$$

Пример иррационального числа:

$$x^3 = \frac{2143}{1000} = 2,143;$$ $$x = \sqrt[3]{2,143};$$

Ответ: $x = \sqrt[3]{2,143}$.

г) $[1,2; 1,201]$;

Диапазон искомых чисел:

$$1,2 < x < 1,201;$$ $$1,728 < x^3 < 1,732323601;$$

Пример иррационального числа:

$$x^3 = \frac{173}{100} = 1,73;$$ $$x = \sqrt[3]{1,73};$$

Ответ: $x = \sqrt[3]{1,73}$.

Найти хотя бы одно иррациональное число, расположенное на отрезке:

а) $[0; 1]$

Шаг 1. Определим диапазон искомых чисел.

Нам нужно найти иррациональное число, которое лежит на отрезке $[0, 1]$, то есть найти $x$, которое удовлетворяет неравенству:

$$0 < x < 1.$$

Так как мы ищем иррациональное число, это число $x$ не должно быть целым или дробным числом с конечной десятичной записью.

Шаг 2. Анализируем возможные значения для $x$.

Мы можем выбрать число, которое является квадратным корнем от числа, которое не является полным квадратом, чтобы гарантировать, что число $x$ будет иррациональным. Например, если мы возьмем $x^2 = 0.7$, то $x$ будет иррациональным числом, поскольку $\sqrt{0.7}$ — это иррациональное число.

Шаг 3. Вычислим пример числа.

Для выбора числа $x$, давайте возьмем:

$$x^2 = 0.7.$$

Тогда:

$$x = \sqrt{0.7}.$$

Поскольку 0.7 не является полным квадратом, то $\sqrt{0.7}$ — это иррациональное число.

Ответ: $x = \sqrt{0.7}$.

б) $[1,2; 1,22]$

Шаг 1. Определим диапазон искомых чисел.

Теперь рассматриваем отрезок $[1,2; 1,22]$, то есть нужно найти $x$, которое лежит между числами 1,2 и 1,22. Это неравенство выглядит так:

$$1.2 < x < 1.22.$$

Шаг 2. Анализируем возможные значения для $x$.

Для того чтобы число $x$ было иррациональным, мы можем выбрать число $x^2$, которое не является рациональным числом. Возьмем, например, $x^2 = 1.51$. Тогда:

$$x = \sqrt{1.51}.$$

Так как $1.51$ не является полным квадратом, то $\sqrt{1.51}$ — это иррациональное число.

Шаг 3. Проверим, что это значение лежит в диапазоне $[1.2, 1.22]$.

Проверим значения:

$$\sqrt{1.51} \approx 1.228.$$

Это значение лежит между 1.2 и 1.22.

Ответ: $x = \sqrt{1.51}$.

в) $[1,2; 1,6]$

Шаг 1. Определим диапазон искомых чисел.

Теперь рассматриваем отрезок $[1,2; 1,6]$, то есть нужно найти $x$, которое лежит между числами 1,2 и 1,6. Это неравенство:

$$1.2 < x < 1.6.$$

Шаг 2. Анализируем возможные значения для $x$.

Мы можем выбрать значение $x^3$, которое будет иррациональным. Например, возьмем:

$$x^3 = 2.143.$$

Тогда:

$$x = \sqrt[3]{2.143}.$$

Поскольку 2.143 не является кубом целого числа, $\sqrt[3]{2.143}$ — это иррациональное число.

Шаг 3. Проверим, что это значение лежит в диапазоне $[1.2, 1.6]$.

Проверим значение:

$$\sqrt[3]{2.143} \approx 1.278.$$

Это значение лежит между 1.2 и 1.6.

Ответ: $x = \sqrt[3]{2.143}$.

г) $[1,2; 1,201]$

Шаг 1. Определим диапазон искомых чисел.

Теперь рассматриваем отрезок $[1,2; 1,201]$, то есть нужно найти $x$, которое лежит между числами 1,2 и 1,201. Это неравенство:

$$1.2 < x < 1.201.$$

Шаг 2. Анализируем возможные значения для $x$.

Как и в предыдущих случаях, можно выбрать значение $x^3$, которое будет иррациональным. Например, возьмем:

$$x^3 = 1.73.$$

Тогда:

$$x = \sqrt[3]{1.73}.$$

Так как 1.73 не является кубом целого числа, $\sqrt[3]{1.73}$ — это иррациональное число.

Шаг 3. Проверим, что это значение лежит в диапазоне $[1.2, 1.201]$.

Проверим значение:

$$\sqrt[3]{1.73} \approx 1.200.$$

Это значение лежит между 1.2 и 1.201.

Ответ: $x = \sqrt[3]{1.73}$.

Итоговые ответы:

• а) $x = \sqrt{0.7}$
• б) $x = \sqrt{1.51}$
• в) $x = \sqrt[3]{2.143}$
• г) $x = \sqrt[3]{1.73}$