ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 3.15 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите хотя бы одно рациональное число, расположен ное на полуинтервале:

а) $(1,5; \sqrt{3}]$;

б) $[\sqrt{3} — \sqrt{2}; 0,5)$

Найти хотя бы одно рациональное число, расположенное на полуинтервале:

а) $(1,5; \sqrt{3}]$;

Границы чисел:

$$300 > 289 \quad => \quad \sqrt{300} > 17 \quad => \quad \sqrt{3} > 1,7;$$

Диапазон искомых чисел:

$$1,5 < x < \sqrt{3};$$ $$1,5 < x < 1,7;$$

Ответ: $x = 1,6$.

б) $[\sqrt{3} — \sqrt{2}; 0,5)$;

Границы чисел:

$$200 > 196 \quad => \quad \sqrt{200} > 14 \quad => \quad \sqrt{2} > 1,4;$$ $$300 < 324 \quad => \quad \sqrt{300} < 18 \quad => \quad \sqrt{3} < 1,8;$$ $$\sqrt{3} — \sqrt{2} < 1,8 — 1,4 \quad => \quad \sqrt{3} — \sqrt{2} < 0,4;$$

Диапазон искомых чисел:

$$\sqrt{3} — \sqrt{2} < x \leq 0,5;$$ $$0,4 < x < 0,5;$$

Ответ: $x = 0,467$.

Найти хотя бы одно рациональное число, расположенное на полуинтервале:

а) $(1,5; \sqrt{3}]$

Шаг 1. Найдем приближенные значения для границ интервала.

У нас есть полуинтервал $(1,5; \sqrt{3}]$. Необходимо найти рациональное число, которое лежит между $1,5$ и $\sqrt{3}$, где $\sqrt{3}$ — это иррациональное число.

• Мы знаем, что $\sqrt{3}$ приближенно равно $1.732$. Это можно проверить, вычислив квадрат:

$$\sqrt{3} \approx 1.732 \quad \Rightarrow \quad 1.732^2 \approx 3.$$

Шаг 2. Диапазон искомых чисел.

Теперь, когда мы знаем приближенные значения, можно записать диапазон искомых чисел:

$$1,5 < x \leq \sqrt{3}.$$

Заменим $\sqrt{3}$ на $1.732$:

$$1,5 < x \leq 1.732.$$

Таким образом, искомое число $x$ должно быть больше $1,5$ и меньше или равно $1,732$.

Шаг 3. Найдем рациональное число в этом диапазоне.

Очевидно, что рациональные числа существуют в этом диапазоне. Например, $x = 1,6$ — это рациональное число, которое лежит между $1,5$ и $1,732$.

Проверим, что $1,6$ лежит в этом интервале:

$$1,5 < 1,6 < 1,732.$$

Таким образом, $x = 1,6$ удовлетворяет условиям задачи.

Ответ: $x = 1,6$.

б) $[\sqrt{3} — \sqrt{2}; 0,5)$

Шаг 1. Рассмотрим границы чисел.

У нас есть полуинтервал $[\sqrt{3} — \sqrt{2}; 0,5)$. Нам нужно найти рациональное число, которое лежит в этом интервале. Начнем с того, что вычислим приближенные значения для $\sqrt{3}$ и $\sqrt{2}$.

• $\sqrt{3} \approx 1.732$.
• $\sqrt{2} \approx 1.414$.

Теперь найдём разность $\sqrt{3} — \sqrt{2}$:

$$\sqrt{3} — \sqrt{2} \approx 1.732 — 1.414 = 0.318.$$

Таким образом, нижняя граница интервала равна $0.318$.

Шаг 2. Проверим верхнюю границу.

Верхняя граница интервала — это $0,5$, так что интервал $[\sqrt{3} — \sqrt{2}; 0,5)$ имеет границы:

$$0.318 \leq x < 0.5.$$

Шаг 3. Найдем рациональное число в этом диапазоне.

Мы ищем рациональное число, которое лежит в интервале $[0.318, 0.5)$. Очевидно, что в этом диапазоне есть множество рациональных чисел. Например, $x = 0.467$ — это рациональное число, которое лежит между $0.318$ и $0.5$.

Проверим, что $0.467$ лежит в этом интервале:

$$0.318 \leq 0.467 < 0.5.$$

Таким образом, $x = 0.467$ удовлетворяет условиям задачи.

Ответ: $x = 0.467$.

Итоговые ответы:

• а) $x = 1,6$
• б) $x = 0,467$