ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 3.16 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите хотя бы одно иррациональное число, расположенное на полуинтервале:

а) $[0; \sqrt{2}]$;

б) $(\sqrt{3} — \sqrt{2}; 0,5]$

Найти хотя бы одно иррациональное число, расположенное на полуинтервале:

а) $[0; \sqrt{2}]$;

Диапазон искомых чисел:

$$0 < x < \sqrt{2};$$ $$0 < x^2 < 2;$$

Пример иррационального числа:

$$x^2 = \frac{11}{10} = 1,1;$$ $$x = \sqrt{1,1};$$

Ответ: $x = \sqrt{1,1}$.

б) $(\sqrt{3} — \sqrt{2}; 0,5]$;

Границы чисел:

$$200 > 196 \quad => \quad \sqrt{200} > 14 \quad => \quad \sqrt{2} > 1,4;$$ $$300 < 324 \quad => \quad \sqrt{300} < 18 \quad => \quad \sqrt{3} < 1,8;$$ $$\sqrt{3} — \sqrt{2} < 1,8 — 1,4 \quad => \quad \sqrt{3} — \sqrt{2} < 0,4;$$

Диапазон искомых чисел:

$$\sqrt{3} — \sqrt{2} < x < 0,5;$$ $$0,4 < x < 0,5;$$ $$0,16 < x^2 < 0,25;$$

Пример иррационального числа:

$$x^2 = \frac{19}{100} = 0,19;$$ $$x = \sqrt{0,19};$$

Ответ: $x = \sqrt{0,19}$.

Найти хотя бы одно иррациональное число, расположенное на полуинтервале:

а) $[0; \sqrt{2}]$

Шаг 1. Рассмотрим диапазон искомых чисел.

Нам нужно найти иррациональное число, которое лежит в полуинтервале $[0, \sqrt{2}]$, то есть число $x$, которое удовлетворяет неравенству:

$$0 < x < \sqrt{2}.$$

Мы знаем, что $\sqrt{2} \approx 1.414$. Это приближенное значение для квадратного корня из 2. Мы можем вычислить $\sqrt{2}$ с помощью точных значений или приближенно, как это обычно делается в таких задачах.

Шаг 2. Анализируем диапазон значений для $x$.

Поскольку искомое число $x$ должно быть иррациональным, оно не должно быть целым или дробным с конечной десятичной записью. Для этого мы можем взять квадрат числа, которое не является полным квадратом. Например, выберем число, квадрат которого находится в пределах от 0 до 2, и оно не является рациональным числом.

Пример такого числа: $x^2 = 1.1$. Мы возьмем это число, потому что $1.1$ не является полным квадратом. Следовательно, квадратный корень из $1.1$ будет иррациональным числом.

Шаг 3. Вычислим пример числа.

Для этого:

$$x^2 = 1.1,$$

тогда:

$$x = \sqrt{1.1}.$$

Число $\sqrt{1.1}$ — это иррациональное число, так как 1.1 не является полным квадратом.

Шаг 4. Проверим, что это число лежит в нужном диапазоне.

Мы знаем, что $\sqrt{2} \approx 1.414$. Теперь проверим, что $\sqrt{1.1}$ действительно лежит между 0 и $\sqrt{2}$.

$$\sqrt{1.1} \approx 1.048.$$

Так как $0 < 1.048 < 1.414$, это число подходит для нашего интервала.

Ответ: $x = \sqrt{1.1}$.

б) $(\sqrt{3} — \sqrt{2}; 0,5]$

Шаг 1. Рассмотрим границы чисел.

У нас есть полуинтервал $(\sqrt{3} — \sqrt{2}; 0,5]$. Нам нужно найти иррациональное число, которое лежит в этом интервале. Начнем с того, что вычислим приближенные значения для $\sqrt{3}$ и $\sqrt{2}$.

• $\sqrt{3} \approx 1.732$,
• $\sqrt{2} \approx 1.414$.

Теперь вычитаем $\sqrt{2}$ из $\sqrt{3}$:

$$\sqrt{3} — \sqrt{2} \approx 1.732 — 1.414 = 0.318.$$

Таким образом, нижняя граница интервала равна $0.318$, а верхняя граница — $0,5$.

Шаг 2. Диапазон искомых чисел.

Теперь у нас есть интервал:

$$0.318 < x \leq 0.5.$$

Задача заключается в том, чтобы найти иррациональное число, которое лежит в этом интервале. Давайте для простоты возьмем квадрат числа $x^2$, которое будет лежать между 0.318 и 0.5.

Шаг 3. Проверим диапазон для $x^2$.

Поскольку $0.318 < x < 0.5$, мы можем взять диапазон для $x^2$:

$$0.318^2 = 0.101 \quad \text{и} \quad 0.5^2 = 0.25.$$

Таким образом, $x^2$ должно лежать между 0.101 и 0.25.

Шаг 4. Выберем пример иррационального числа.

Теперь выберем $x^2 = 0.19$. Это число не является полным квадратом, значит $\sqrt{0.19}$ будет иррациональным.

Шаг 5. Проверим, что число лежит в интервале.

Проверим, что $\sqrt{0.19}$ лежит в интервале $(0.318, 0.5]$.

$$\sqrt{0.19} \approx 0.435.$$

Так как $0.318 < 0.435 < 0.5$, это число подходит для интервала.

Ответ: $x = \sqrt{0.19}$.

Итоговые ответы:

• а) $x = \sqrt{1.1}$
• б) $x = \sqrt{0.19}$