ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 3.19 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Могут ли длины сторон треугольника выражаться числами:

а) $\sqrt{3}, \, \sqrt{2}, \, 1$;

б) $\sqrt{3}, \, \sqrt{5}, \, 4$

Могут ли длины сторон треугольника выражаться числами:

а) $\sqrt{3}, \, \sqrt{2}, \, 1$;

Границы иррациональных чисел:

$$1 < 2 < 4 \quad => \quad 1 < \sqrt{2} < 2;$$ $$1 < 3 < 4 \quad => \quad 1 < \sqrt{3} < 2;$$

Неравенство треугольника:

$$\sqrt{3} + \sqrt{2} > 1 + 1 \quad => \quad \sqrt{3} + \sqrt{2} > 2 > 1;$$ $$\sqrt{2} + 1 > 1 + 1 \quad => \quad \sqrt{2} + 1 > 2 > \sqrt{3};$$ $$\sqrt{3} + 1 > 1 + 1 \quad => \quad \sqrt{3} + 1 > 2 > \sqrt{2};$$

Ответ: может.

б) $\sqrt{3}, \, \sqrt{5}, \, 4$;

Границы иррациональных чисел:

$$30\,000 < 30\,276 \quad => \quad \sqrt{30\,000} < 174 \quad => \quad \sqrt{3} < 1,74;$$ $$50\,000 < 50\,176 \quad => \quad \sqrt{50\,000} < 224 \quad => \quad \sqrt{5} < 2,24;$$

Неравенство треугольника:

$$\sqrt{3} + \sqrt{5} < 1,74 + 2,24 \quad => \quad \sqrt{3} + \sqrt{5} < 3,98 < 4;$$

Ответ: не может.

Могут ли длины сторон треугольника выражаться числами:

а) $\sqrt{3}, \, \sqrt{2}, \, 1$

Шаг 1. Границы иррациональных чисел.

Для того чтобы проверить, могут ли эти числа быть длинами сторон треугольника, начнем с границ чисел.

• $\sqrt{2}$ — это число между 1 и 2, так как:

  $$1 < 2 < 4 \quad \Rightarrow \quad 1 < \sqrt{2} < 2.$$

  То есть $\sqrt{2}$ лежит в пределах от 1 до 2.

• $\sqrt{3}$ — это число между 1 и 2, так как:

  $$1 < 3 < 4 \quad \Rightarrow \quad 1 < \sqrt{3} < 2.$$

  Таким образом, $\sqrt{3}$ также лежит между 1 и 2.

Итак, мы видим, что $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$ — иррациональные числа, и обе величины находятся в интервале от 1 до 2.

Шаг 2. Проверка неравенства треугольника.

Для того чтобы длины $\sqrt{3}, \sqrt{2}, 1$ могли быть длинами сторон треугольника, они должны удовлетворять неравенству треугольника. Это означает, что сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны.

Проверим первое неравенство:

$$\sqrt{3} + \sqrt{2} > 1 + 1 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{3} + \sqrt{2} > 2.$$

Проверим, что это неравенство выполняется:

$$\sqrt{3} \approx 1.732 \quad \text{и} \quad \sqrt{2} \approx 1.414.$$

Тогда:

$$1.732 + 1.414 = 3.146 \quad \Rightarrow \quad 3.146 > 2.$$

Это неравенство выполнено, значит первая пара сторон может образовывать треугольник.

Проверим второе неравенство:

$$\sqrt{2} + 1 > 1 + 1 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{2} + 1 > 2.$$

Мы знаем, что:

$$\sqrt{2} \approx 1.414 \quad \Rightarrow \quad 1.414 + 1 = 2.414 \quad \Rightarrow \quad 2.414 > 2.$$

Это неравенство также выполнено.

Проверим третье неравенство:

$$\sqrt{3} + 1 > 1 + 1 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{3} + 1 > 2.$$

Мы знаем, что:

$$\sqrt{3} \approx 1.732 \quad \Rightarrow \quad 1.732 + 1 = 2.732 \quad \Rightarrow \quad 2.732 > 2.$$

Это неравенство также выполнено.

Шаг 3. Вывод.

Так как все неравенства треугольника выполнены, то длины сторон $\sqrt{3}, \sqrt{2}, 1$ могут быть длинами сторон треугольника.

Ответ: Может.

б) $\sqrt{3}, \, \sqrt{5}, \, 4$

Шаг 1. Границы иррациональных чисел.

Теперь рассмотрим числа $\sqrt{3}, \sqrt{5}, 4$.

• $\sqrt{3}$ — это число между 1 и 2, так как:

  $$1 < 3 < 4 \quad \Rightarrow \quad 1 < \sqrt{3} < 2.$$

• $\sqrt{5}$ — это число между 2 и 3, так как:

  $$4 < 5 < 9 \quad \Rightarrow \quad 2 < \sqrt{5} < 3.$$

• Число $4$ — это просто целое число.

Итак, $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$ — иррациональные числа, и их границы мы уже нашли.

Шаг 2. Проверка неравенства треугольника.

Для того чтобы длины $\sqrt{3}, \sqrt{5}, 4$ могли быть длинами сторон треугольника, они должны удовлетворять неравенству треугольника.

Проверим первое неравенство:

$$\sqrt{3} + \sqrt{5} > 4.$$

Подставим приближенные значения:

$$\sqrt{3} \approx 1.732 \quad \text{и} \quad \sqrt{5} \approx 2.236.$$

Тогда:

$$1.732 + 2.236 = 3.968 \quad \Rightarrow \quad 3.968 < 4.$$

Это неравенство не выполняется, так как сумма сторон меньше третьей стороны.

Шаг 3. Вывод.

Поскольку одно из неравенств треугольника не выполняется, то длины сторон $\sqrt{3}, \sqrt{5}, 4$ не могут быть длинами сторон треугольника.

Ответ: Не может.

Итоговые ответы:

• а) Может.
• б) Не может.