ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 3.20 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Отметьте на числовой прямой точки A(1) и B(4). C помощью циркуля и линейки постройте точку:

$\mathrm{а)\; C}(\sqrt{7})$

$\mathrm{б)\; D}(1-\sqrt{7})$

$\mathrm{в)\; E}\left(\frac{2}{\sqrt{7}}\right)$

$\mathrm{г)\; G}(2-\sqrt{5})$

На числовой прямой отмечены точки $A(1)$ и $B(4)$;

Отметим на числовой прямой все точки от 0 до 4, для чего:

1. Разделим отрезок $AB$ на три равные части;

2. Каждый из этих отрезков является единичным:

$$\frac{AB}{3}=\frac{4-1}{3}=\frac{3}{3}=1;$$

3. От точки $A(1)$ отложим один единичный отрезок влево:

а) Отметим точку $C(\sqrt{7})$;

1. Построим два прямоугольных треугольника с катетами:

$$a_1=1,b_1=2\text{и}{a}_2=1,b_2=1;$$$$c_1=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5};$$$$c_2=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2};$$

2. Построим прямоугольный треугольник с катетами:

$$a=\sqrt{5}\text{и}b=\sqrt{2};$$

$$$$$$c=\sqrt{(\sqrt{5}{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{5+2}=\sqrt{7};$$

3. Отложим отрезок длины $\sqrt{7}$ вправо от точки 0:

б) Отметим точку $D(1-\sqrt{7})$;

1. Построим два прямоугольных треугольника с катетами:

$$a_1=2,b_1=1\text{и}{a}_2=1,b_2=1;$$

$$$$$$c_1=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5};$$$$c_2=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2};$$

2. Построим прямоугольный треугольник с катетами:

$$a=\sqrt{5}\text{и}b=\sqrt{2};$$

$$$$$$c=\sqrt{(\sqrt{5}{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{5+2}=\sqrt{7};$$

3. Отложим отрезок длины $\sqrt{7}$ влево от точки $A(1)$:

в) Отметим точку $E\left(\frac{2}{\sqrt{7}}\right)$;

1. Построим два прямоугольных треугольника с катетами:

$$a_1=1,b_1=2\text{и}{a}_2=1,b_2=1;$$

$$$$$$c_1=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5};$$$$c_2=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2};$$

2. Построим прямоугольный треугольник с катетами:

$$a=\sqrt{5}\text{и}b=\sqrt{2};$$

$$$$$$c=\sqrt{(\sqrt{5}{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{5+2}=\sqrt{7};$$

3. Последовательно отложим два отрезка длины $\sqrt{7}$, а затем разделим их суммарный отрезок на семь равных частей:

Длина каждой из этих частей составляет:

$$l=\frac{2\cdot \sqrt{7}}{7}=\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{7}\cdot \sqrt{7}}=\frac{2}{\sqrt{7}};$$

4. Отложим отрезок длины $\frac{2}{\sqrt{7}}$ вправо от точки 0:

г) Отметим точку $G(2-\sqrt{5})$;

1. Построим прямоугольный треугольник с катетами:

$$a=2\text{и}b=1;$$

$$$$$$c=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5};$$

2. Отложим отрезок длины $\sqrt{5}$ влево от точки 2:

На числовой прямой отмечены точки $A(1)$ и $B(4)$;

Отметим на числовой прямой все точки от 0 до 4, для чего:

1. Разделим отрезок $AB$ на три равные части:Отрезок $AB$ имеет длину $4-1=3$. Теперь разделим этот отрезок на три равные части. Каждая часть будет иметь длину:

   $$\frac{3}{3}=1.$$

   Таким образом, длина каждой из частей отрезка $AB$ равна 1.

2. Каждый из этих отрезков является единичным, то есть мы получили 3 отрезка длины 1 на числовой прямой.
3. От точки $A(1)$ отложим один единичный отрезок влево.

Теперь у нас есть единичный отрезок на числовой прямой, и мы можем продолжить решение задачи, начиная с построения различных точек.

а) Отметим точку $C(\sqrt{7})$;

Построим два прямоугольных треугольника с катетами:

Для нахождения точки $C(\sqrt{7})$ используем метод построения прямоугольных треугольников. Построим два прямоугольных треугольника с катетами:

• Первый треугольник с катетами $a_1=1$ и $b_1=2$.
  С помощью теоремы Пифагора находим гипотенузу: 

  $$c_1=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\mathrm{.}$$

  Таким образом, гипотенуза первого треугольника $c_1=\sqrt{5}$.

• Второй треугольник с катетами $a_2=1$ и $b_2=1$.
  Для второго треугольника гипотенуза будет: 

  $$c_2=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\mathrm{.}$$

  Гипотенуза второго треугольника $c_2=\sqrt{2}$.

Построим прямоугольный треугольник с катетами:

Теперь построим прямоугольный треугольник с катетами $a=\sqrt{5}$ и $b=\sqrt{2}$. Найдем гипотенузу этого треугольника по теореме Пифагора:

$$c=\sqrt{(\sqrt{5}{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{5+2}=\sqrt{7}\mathrm{.}$$

Таким образом, гипотенуза этого треугольника равна $\sqrt{7}$.

Отложим отрезок длины $\sqrt{7}$ вправо от точки 0:

Теперь, когда мы нашли длину отрезка $\sqrt{7}$, отложим этот отрезок на числовой прямой вправо от точки 0. Точка, соответствующая $\sqrt{7}$, будет точкой $C(\sqrt{7})$.

б) Отметим точку $D(1-\sqrt{7})$;

Построим два прямоугольных треугольника с катетами:

Аналогично предыдущему пункту, строим два прямоугольных треугольника с катетами:

• Первый треугольник с катетами $a_1=2$ и $b_1=1$. Найдем гипотенузу:$$c_1=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\mathrm{.}$$

  Гипотенуза первого треугольника $c_1=\sqrt{5}$.

• Второй треугольник с катетами $a_2=1$ и $b_2=1$. Найдем гипотенузу:$$c_2=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\mathrm{.}$$

  Гипотенуза второго треугольника $c_2=\sqrt{2}$.

Построим прямоугольный треугольник с катетами:

Построим прямоугольный треугольник с катетами $a=\sqrt{5}$ и $b=\sqrt{2}$. Найдем гипотенузу:

$$c=\sqrt{(\sqrt{5}{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{5+2}=\sqrt{7}\mathrm{.}$$

Таким образом, гипотенуза равна $\sqrt{7}$.

Отложим отрезок длины $\sqrt{7}$ влево от точки $A(1)$:

Отложим отрезок длины $\sqrt{7}$ влево от точки $A(1)$. Это даст точку, которая будет $D(1-\sqrt{7})$.

в) Отметим точку $E\left(\frac{2}{\sqrt{7}}\right)$;

Построим два прямоугольных треугольника с катетами:

Строим два прямоугольных треугольника с катетами:

• Первый треугольник с катетами $a_1=1$ и $b_1=2$. Найдем гипотенузу:$$c_1=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\mathrm{.}$$

  Гипотенуза первого треугольника $c_1=\sqrt{5}$.

• Второй треугольник с катетами $a_2=1$ и $b_2=1$. Найдем гипотенузу:$$c_2=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\mathrm{.}$$

  Гипотенуза второго треугольника $c_2=\sqrt{2}$.

Построим прямоугольный треугольник с катетами:

Строим прямоугольный треугольник с катетами $a=\sqrt{5}$ и $b=\sqrt{2}$. Найдем гипотенузу:

$$c=\sqrt{(\sqrt{5}{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{5+2}=\sqrt{7}\mathrm{.}$$

Таким образом, гипотенуза равна $\sqrt{7}$.

Последовательно отложим два отрезка длины $\sqrt{7}$, а затем разделим их суммарный отрезок на семь равных частей:

Отложим два отрезка длины $\sqrt{7}$ и затем разделим их суммарный отрезок на семь равных частей. Длина каждой части будет:

$$l=\frac{2\cdot \sqrt{7}}{7}=\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{7}\cdot \sqrt{7}}=\frac{2}{\sqrt{7}}\mathrm{.}$$

Отложим отрезок длины $\frac{2}{\sqrt{7}}$ вправо от точки 0:

Отложим отрезок длины $\frac{2}{\sqrt{7}}$ вправо от точки 0. Это даст точку $E\left(\frac{2}{\sqrt{7}}\right)$.

г) Отметим точку $G(2-\sqrt{5})$;

Построим прямоугольный треугольник с катетами:

Строим прямоугольный треугольник с катетами $a=2$ и $b=1$. Найдем гипотенузу:

$$c=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\mathrm{.}$$

Отложим отрезок длины $\sqrt{5}$ влево от точки 2:

Отложим отрезок длины $\sqrt{5}$ влево от точки $2$. Это даст точку $G(2-\sqrt{5})$.

Итоговые ответы:

• Точка $C(\sqrt{7})$ — отложена вправо от 0.
• Точка $D(1-\sqrt{7})$ — отложена влево от 1.
• Точка $E\left(\frac{2}{\sqrt{7}}\right)$ — отложена вправо от 0.
• Точка $G(2-\sqrt{5})$ — отложена влево от 2.