ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 3.3 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Пусть $\frac{p}{q}$ — несократимая дробь и $q > 1$. Докажите, что натуральная степень $\left(\frac{p}{q}\right)^n$, $n \in \mathbb{N}$, есть также несократимая дробь.

б) Пусть $a^n$, $n \in \mathbb{N}$ — целое число. Докажите, что $a$ — либо целое, либо иррациональное число.

в) Опираясь на утверждения а) и б), докажите иррациональность числа $\sqrt[3]{21}$.

а) Доказать, что натуральная степень несократимой дроби является несократимой дробью;

1. Пусть $\frac{p}{q}$ — несократимая дробь, то есть $p \nmid q$ и $q > 1$;

2. Данное число рациональное, значит при возведении в степень (умножении на самого себя) оно остается рациональным;

3. Допустим, что число $\left(\frac{p}{q}\right)^n$ — целое, тогда:

$$\left(\frac{p}{q}\right)^n = r \in \mathbb{Z};$$ $$\frac{p^n}{q^n} = r \quad \Rightarrow \quad p^n = rq^n;$$ $$p^n : q^n \quad \Rightarrow \quad p^n : q \quad \Rightarrow \quad p : q;$$

4. Возникло противоречие, значит число $\left(\frac{p}{q}\right)^n$ есть несократимая дробь, что и требовалось доказать.

б) Пусть $a^n, n \in \mathbb{N}$ — целое число, доказать, что $a$ — либо целое, либо иррациональное число;

1. Число $a$ может быть целым или иррациональным, например:

• Если $a = 3 \in \mathbb{Z}$, тогда $a^3 = 3^3 = 27 \in \mathbb{Z}$;
• Если $a = \sqrt{2} \in \mathbb{I}$, тогда $a^4 = (\sqrt{2})^4 = \sqrt{16} = 4 \in \mathbb{Z}$;

2. Допустим, что $a \notin \mathbb{Z}$ и $a \notin \mathbb{I}$, тогда:

$$a = \frac{p}{q} — \text{несократимая дробь, то есть } m \nmid n;$$ $$a^n = \left(\frac{p}{q}\right)^n = r \in \mathbb{Z};$$ $$\frac{p^n}{q^n} = r \quad \Rightarrow \quad p^n = rq^n;$$ $$p^n : q^n \quad \Rightarrow \quad p^n : q \quad \Rightarrow \quad p : q;$$

3. Возникло противоречие, значит $a$ — либо иррациональное, либо целое число, что и требовалось доказать.

в) Доказать иррациональность числа $\sqrt[3]{21}$;

$(\sqrt[3]{21})^3 = 21 \in \mathbb{Z}$, значит согласно утверждениям а) и б) данное число может быть либо целым, либо иррациональным;

2. Разложим число 21 на простые множители: $21 = 3 \cdot 7$;

3. Очевидно, что 21 не является кубом целого числа, следовательно число $\sqrt[3]{21}$ не является целым;

4. Таким образом, число $\sqrt[3]{21}$ может быть только иррациональным, что и требовалось доказать.

а) Доказательство, что натуральная степень несократимой дроби является несократимой дробью

Шаг 1: Пусть $\frac{p}{q}$ — несократимая дробь.

Предположим, что $\frac{p}{q}$ — несократимая дробь, где $p$ и $q$ — целые числа, и они взаимно просты. То есть $\gcd(p, q) = 1$ и $q > 1$ (целое число $q$ больше 1). Это означает, что дробь $\frac{p}{q}$ не может быть сокращена.

Шаг 2: Число $\frac{p}{q}$ рационально.

Число $\frac{p}{q}$ является рациональным числом, поскольку $p$ и $q$ — целые числа, и $q > 1$.

Теперь рассмотрим выражение $\left(\frac{p}{q}\right)^n$, где $n$ — натуральное число. Мы должны доказать, что если $\frac{p}{q}$ — несократимая дробь, то и $\left(\frac{p}{q}\right)^n$ также будет несократимой.

Шаг 3: Возведение дроби в степень.

Теперь возведем дробь в степень $n$:

$$\left(\frac{p}{q}\right)^n = \frac{p^n}{q^n}.$$

Так как $p^n$ и $q^n$ — целые числа, результат выражения $\frac{p^n}{q^n}$ также является рациональным числом. Теперь нам нужно доказать, что дробь $\frac{p^n}{q^n}$ не может быть сокращена.

Шаг 4: Предположение, что дробь сокращается.

Предположим, что дробь $\frac{p^n}{q^n}$ можно сократить. Это означает, что существует такой общий делитель $d > 1$, что $d$ делит и $p^n$, и $q^n$. Тогда:

$$d \mid p^n \quad \text{и} \quad d \mid q^n.$$

Поскольку $p$ и $q$ взаимно просты ($\gcd(p, q) = 1$), это означает, что $d$ не может делить $p$ и $q$, а значит, $d = 1$. Таким образом, дробь $\frac{p^n}{q^n}$ не может быть сокращена.

Шаг 5: Заключение.

Мы доказали, что $\frac{p^n}{q^n}$ не имеет общих делителей, кроме 1, что значит, она является несократимой дробью.

Ответ: Если $\frac{p}{q}$ — несократимая дробь, то и $\left(\frac{p}{q}\right)^n$ — несократимая дробь.

б) Пусть $a^n, n \in \mathbb{N}$ — целое число, доказать, что $a$ — либо целое, либо иррациональное число

Шаг 1: Рассмотрим два случая.

Число $a$ может быть либо целым числом, либо иррациональным. Давайте рассмотрим два случая:

• Случай 1: $a = 3 \in \mathbb{Z}$. Тогда:

  $$a^3 = 3^3 = 27 \in \mathbb{Z}.$$

  Таким образом, если $a$ целое, то $a^n$ также целое для любого натурального $n$.

• Случай 2: $a = \sqrt{2} \in \mathbb{I}$. Тогда:

  $$a^4 = (\sqrt{2})^4 = \sqrt{16} = 4 \in \mathbb{Z}.$$

  В этом случае, несмотря на то что $a$ иррационально, его степень $a^4$ оказывается целым числом.

Шаг 2: Допустим, что $a \notin \mathbb{Z}$ и $a \notin \mathbb{I}$.

Предположим, что $a$ — это несократимая дробь. То есть:

$$a = \frac{p}{q}, \quad \text{где } p \nmid q, \quad p, q \in \mathbb{Z}, \quad \gcd(p, q) = 1.$$

Шаг 3: Возводим $a$ в степень $n$.

Теперь рассмотрим выражение $a^n$:

$$a^n = \left(\frac{p}{q}\right)^n = \frac{p^n}{q^n}.$$

Предположим, что $a^n$ — целое число, то есть:

$$a^n = \frac{p^n}{q^n} = r \in \mathbb{Z}.$$

Таким образом, $p^n = rq^n$, что означает, что $p^n$ делится на $q^n$.

Шаг 4: Противоречие.

Поскольку $p$ и $q$ взаимно просты, то $p$ не может делиться на $q$. Следовательно, возникло противоречие, и $a$ не может быть ни целым числом, ни рациональным числом в обычном смысле.

Шаг 5: Заключение.

Мы доказали, что если $a^n$ — целое число, то $a$ либо целое, либо иррациональное.

Ответ: $a$ — либо целое, либо иррациональное число.

в) Доказательство иррациональности числа $\sqrt[3]{21}$

Шаг 1: Рассмотрим куб числа $\sqrt[3]{21}$.

Возьмём куб числа $\sqrt[3]{21}$:

$$(\sqrt[3]{21})^3 = 21 \in \mathbb{Z}.$$

Это означает, что куб числа $\sqrt[3]{21}$ является целым числом, и следовательно, оно либо целое, либо иррациональное.

Шаг 2: Разложим 21 на простые множители.

Теперь разложим число 21 на простые множители:

$$21 = 3 \cdot 7.$$

Здесь мы видим, что 21 не является кубом целого числа, так как оба множителя (3 и 7) не могут быть выражены в виде кубов целых чисел.

Шаг 3: Заключение.

Так как 21 не является кубом целого числа, следовательно, $\sqrt[3]{21}$ не может быть целым числом. Таким образом, $\sqrt[3]{21}$ обязательно иррационально.

Ответ: $\sqrt[3]{21}$ — иррациональное число.

Итог:

1. Если $\frac{p}{q}$ — несократимая дробь, то и $\left(\frac{p}{q}\right)^n$ — несократимая дробь.
2. Число $a$ либо целое, либо иррациональное.
3. Число $\sqrt[3]{21}$ — иррациональное число.