ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 3.4 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Каким числом, рациональным или иррациональным, является:

а) сумма рационального и иррационального чисел;

б) разность рационального и иррационального чисел;

в) произведение не равного нулю рационального числа и иррационального числа;

г) частное рационального, не равного нулю числа, и иррационального числа?

Пусть $q$ и $r$ — рациональные числа, а $i$ — иррациональное число;

а) Сумма рационального и иррационального чисел является иррациональным числом, иначе возникает противоречие:

$$q + i = r;$$ $$i = (r — q) \in \mathbb{Q}$$

б) Разность рационального и иррационального чисел является иррациональным числом, иначе возникает противоречие:

$$q — i = r;$$ $$i = (q — r) \in \mathbb{Q}$$

в) Произведение ненулевого рационального и иррационального чисел является иррациональным числом, иначе возникает противоречие:

$$q \cdot i = r;$$ $$i = \frac{r}{q} \in \mathbb{Q};$$

г) Частное ненулевого рационального и иррационального чисел является иррациональным числом, иначе возникает противоречие:

$$\frac{q}{i} = r;$$ $$i = \frac{q}{r} \in \mathbb{Q};$$

Ответ: во всех случаях — иррациональным числом.

Утверждения:

Пусть $q$ и $r$ — рациональные числа, а $i$ — иррациональное число.

а) Сумма рационального и иррационального чисел является иррациональным числом

Доказательство:

Предположим, что сумма рационального числа $q$ и иррационального числа $i$ равна рациональному числу $r$. То есть:

$$q + i = r,$$

где $q, r \in \mathbb{Q}$ и $i \in \mathbb{I}$ (где $\mathbb{I}$ — множество иррациональных чисел).

Теперь из этого выражения выразим $i$:

$$i = r — q.$$

Поскольку $r$ и $q$ — рациональные числа, то их разность $r — q$ также является рациональным числом, так как разность двух рациональных чисел всегда рациональна:

$$r — q \in \mathbb{Q}.$$

Однако мы получили, что $i$ должно быть и рациональным числом, что противоречит предположению, что $i$ — иррациональное число. Таким образом, наше предположение о том, что сумма рационального и иррационального числа может быть рациональным числом, неверно.

Вывод: Сумма рационального и иррационального чисел является иррациональным числом.

б) Разность рационального и иррационального чисел является иррациональным числом

Доказательство:

Предположим, что разность рационального числа $q$ и иррационального числа $i$ равна рациональному числу $r$. То есть:

$$q — i = r,$$

где $q, r \in \mathbb{Q}$ и $i \in \mathbb{I}$.

Теперь из этого выражения выразим $i$:

$$i = q — r.$$

Поскольку $q$ и $r$ — рациональные числа, то их разность $q — r$ также является рациональным числом:

$$q — r \in \mathbb{Q}.$$

Но мы получили, что $i$ должно быть рациональным числом, что противоречит предположению, что $i$ — иррациональное число. Таким образом, наше предположение о том, что разность рационального и иррационального числа может быть рациональным числом, неверно.

Вывод: Разность рационального и иррационального чисел является иррациональным числом.

в) Произведение ненулевого рационального и иррационального чисел является иррациональным числом

Доказательство:

Предположим, что произведение ненулевого рационального числа $q$ и иррационального числа $i$ равно рациональному числу $r$. То есть:

$$q \cdot i = r,$$

где $q \neq 0$, $r \in \mathbb{Q}$, и $i \in \mathbb{I}$.

Теперь выразим $i$ из этого равенства:

$$i = \frac{r}{q}.$$

Поскольку $q$ и $r$ — рациональные числа, то их частное $\frac{r}{q}$ также является рациональным числом:

$$\frac{r}{q} \in \mathbb{Q}.$$

Однако мы получили, что $i$ должно быть рациональным числом, что противоречит предположению, что $i$ — иррациональное число. Таким образом, наше предположение о том, что произведение ненулевого рационального и иррационального числа может быть рациональным числом, неверно.

Вывод: Произведение ненулевого рационального и иррационального чисел является иррациональным числом.

г) Частное ненулевого рационального и иррационального чисел является иррациональным числом

Доказательство:

Предположим, что частное ненулевого рационального числа $q$ и иррационального числа $i$ равно рациональному числу $r$. То есть:

$$\frac{q}{i} = r,$$

где $q \neq 0$, $r \in \mathbb{Q}$, и $i \in \mathbb{I}$.

Теперь выразим $i$ из этого равенства:

$$i = \frac{q}{r}.$$

Поскольку $q$ и $r$ — рациональные числа, то их частное $\frac{q}{r}$ также является рациональным числом:

$$\frac{q}{r} \in \mathbb{Q}.$$

Однако мы получили, что $i$ должно быть рациональным числом, что противоречит предположению, что $i$ — иррациональное число. Таким образом, наше предположение о том, что частное ненулевого рационального и иррационального числа может быть рациональным числом, неверно.

Вывод: Частное ненулевого рационального и иррационального чисел является иррациональным числом.

Ответ:

Во всех случаях (сумма, разность, произведение и частное) результатом является иррациональное число.