ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 3.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $1+\sqrt{12}-2\sqrt{3}$

б) $(7-\sqrt{11})(7+\sqrt{11})$

в) $2\sqrt{3}-3\sqrt{2}$

г) $1+\sqrt{2}-\sqrt{3-2\sqrt{2}}$

а) $1+\sqrt{12}-2\sqrt{3}=1+\sqrt{4\cdot 3}-2\sqrt{3}=1+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}=1$;
Ответ: рациональное.

б) $(7-\sqrt{11})(7+\sqrt{11})=7^2-(\sqrt{11}{)}^2=49-11=38$;
Ответ: рациональное.

в) $2\sqrt{3}-3\sqrt{2}=\sqrt{4\cdot 3}-\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{12}-\sqrt{18}=\sqrt{6}(\sqrt{2}-\sqrt{3})$;
Ответ: иррациональное.

г) $1+\sqrt{2}-\sqrt{3-2\sqrt{2}}=1+\sqrt{2}-\sqrt{1-2\sqrt{2}+2}=$

$=1+\sqrt{2}-\sqrt{(1-\sqrt{2}{)}^2}=$$1+\sqrt{2}-\mathrm{\mid }1-\sqrt{2}\mathrm{\mid }=1+$

$+\sqrt{2}-(\sqrt{2}-1)=1+\sqrt{2}-\sqrt{2}+1=2$;

Ответ: рациональное.

а) $1+\sqrt{12}-2\sqrt{3}$

Начнем с выражения:

$$1+\sqrt{12}-2\sqrt{3}$$

Попробуем упростить $\sqrt{12}$. $\sqrt{12}$ можно разложить как:

$$\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{3}=2\sqrt{3}$$

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$$1+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}$$

Видим, что $2\sqrt{3}-2\sqrt{3}=0$. Следовательно, выражение упрощается до:

$$1+0=1$$

Ответ: Рациональное число.

б) $(7-\sqrt{11})(7+\sqrt{11})$

Это выражение можно упростить с помощью формулы разности квадратов:

$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$

Здесь $a=7$, а $b=\sqrt{11}$.

Применяем формулу:

$$(7-\sqrt{11})(7+\sqrt{11})=7^2-(\sqrt{11}{)}^2$$

Вычислим каждое из слагаемых:

$$7^2=49$$$$(\sqrt{11}{)}^2=11$$

Теперь подставим эти значения в выражение:

$$49-11=38$$

Ответ: Рациональное число.

в) $2\sqrt{3}-3\sqrt{2}$

Начнем с выражения:

$$2\sqrt{3}-3\sqrt{2}$$

Применим метод приведения подкоренных выражений к общему виду (по возможности), но в данном случае это невозможно, потому что корни из разных чисел. Мы попробуем привести к виду через общий множитель.

Упростим выражение:

$$2\sqrt{3}-3\sqrt{2}=\sqrt{4\cdot 3}-\sqrt{9\cdot 2}$$

Тут просто представлено подкоренные выражения в виде произведений чисел, однако это не влияет на то, что числа остаются иррациональными.

В таком виде, $\sqrt{12}$ и $\sqrt{18}$ – это иррациональные числа, и разность между ними также будет иррациональной, так как нельзя представить разность корней как рациональное число.

Ответ: Иррациональное число.

г) $1+\sqrt{2}-\sqrt{3-2\sqrt{2}}$

Начнем с выражения:

$$1+\sqrt{2}-\sqrt{3-2\sqrt{2}}$$

Чтобы упростить, начнем с работы с выражением внутри второго корня $\sqrt{3-2\sqrt{2}}$. Попробуем выразить его в виде полного квадрата. Для этого предположим, что $\sqrt{3-2\sqrt{2}}$ можно представить как $\sqrt{a}-\sqrt{b}$, где $a$ и $b$ будут числами, которые нам нужно найти.

Раскроем квадрат $(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2$:

$$(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2=a+b-2\sqrt{ab}$$

Сравним это с выражением $3-2\sqrt{2}$, чтобы получить систему:

$$a+b=3\text{и}-2\sqrt{ab}=-2\sqrt{2}$$

Из второго уравнения получаем:

$$\sqrt{ab}=\sqrt{2}\Rightarrow ab=2$$

Теперь решим систему:

$$a+b=3$$$$ab=2$$

Это система, которая сводится к квадратному уравнению:

$$x^2-(a+b)x+ab=0$$$$x^2-3x+2=0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$x=\frac{3\pm \sqrt{9-8}}{2}=\frac{3\pm 1}{2}$$

Получаем $x=2$ или $x=1$, то есть $a=2$ и $b=1$ (или наоборот).

Следовательно:

$$\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$$

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$$1+\sqrt{2}-(\sqrt{2}-1)=1+\sqrt{2}-\sqrt{2}+1$$

Упростим:

$$1+\sqrt{2}-\sqrt{2}+1=2$$

Ответ: Рациональное число.

Итоги:

а) Рациональное.

б) Рациональное.

в) Иррациональное.

г) Рациональное.