ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 3.9 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, у которого один из корней равен:

а) $\sqrt{2}$

б) $\sqrt{3}-5$

в) $\sqrt{5}-2$

г) $\sqrt{3}-\sqrt{8}$

Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, у которого один из корней равен:

а) $x = \sqrt{2}$;

Уравнение в стандартном виде:

$$ax^2 + bx + c = 0;$$

$x^2 = (\sqrt{2})^2 = 2;$

Пусть $a = 1$ и $b = 0$, тогда:

$$1 \cdot (\sqrt{2})^2 + 0 \cdot \sqrt{2} + c = 0;$$ $$2 + c = 0;$$ $$c = -2;$$

Ответ: $x^2 — 2 = 0.$

б) $x = \sqrt{3} — 5$;

Уравнение в стандартном виде:

$$ax^2 + bx + c = 0;$$

$(\sqrt{3} — 5)^2 = 3 — 10\sqrt{3} + 25;$

Пусть $a = 1$ и $b = 10$, тогда:

$$1 \cdot (\sqrt{3} — 5)^2 + 10(\sqrt{3} — 5) + c = 0;$$ $$3 — 10\sqrt{3} + 25 + 10\sqrt{3} — 50 + c = 0;$$ $$-22 + c = 0;$$ $$c = 22;$$

Ответ: $x^2 + 10x + 22 = 0.$

в) $x = \sqrt{5} — 2$;

Уравнение в стандартном виде:

$$ax^2 + bx + c = 0;$$

$(\sqrt{5} — 2)^2 = 5 — 4\sqrt{5} + 4;$

Пусть $a = 1$ и $b = 4$, тогда:

$$1 \cdot (\sqrt{5} — 2)^2 + 4(\sqrt{5} — 2) + c = 0;$$ $$5 — 4\sqrt{5} + 4 + 4\sqrt{5} — 8 + c = 0;$$ $$1 + c = 0;$$ $$c = -1;$$

Ответ: $x^2 + 4x — 1 = 0.$

г) $x = \sqrt{3} — \sqrt{8}$;

Уравнение в стандартном виде:

$$ax^2 + bx + c = 0;$$

$(\sqrt{3} — \sqrt{8})^2 = 3 — 2\sqrt{24} + 8;$

При возведении в степень появляется новое число под знаком корня, значит подобрать целые коэффициенты невозможно;

Ответ: нет такого уравнения.

а) $x = \sqrt{2}$

Нам нужно составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, у которого одним из корней является $x = \sqrt{2}$.

Уравнение в стандартном виде:
Мы ищем квадратное уравнение вида:

$$ax^2 + bx + c = 0,$$

где $a$, $b$, и $c$ — целые числа.

Найдем квадрат корня $x = \sqrt{2}$:
Так как $x = \sqrt{2}$, то его квадрат будет:

$$x^2 = (\sqrt{2})^2 = 2.$$

Таким образом, мы знаем, что для корня $\sqrt{2}$, $x^2 = 2$.

Подставим в уравнение:
Пусть коэффициент $a = 1$ и $b = 0$ (чтобы упростить задачу). Тогда уравнение будет:

$$x^2 + c = 0.$$

Подставляем $x^2 = 2$:

$$2 + c = 0.$$

Решаем относительно $c$:

$$c = -2.$$

Таким образом, получаем уравнение:

$$x^2 — 2 = 0.$$

Это уравнение имеет корень $x = \sqrt{2}$.

Ответ: Квадратное уравнение: $x^2 — 2 = 0$.

б) $x = \sqrt{3} — 5$

Теперь составим квадратное уравнение, у которого корень $x = \sqrt{3} — 5$.

Уравнение в стандартном виде:
Мы ищем уравнение вида:

$$ax^2 + bx + c = 0.$$

где $a$, $b$, и $c$ — целые числа.

Возведем корень в квадрат:
Нам нужно возвести $x = \sqrt{3} — 5$ в квадрат:

$$(\sqrt{3} — 5)^2 = (\sqrt{3})^2 — 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 5 + 5^2.$$

Посчитаем:

$$(\sqrt{3})^2 = 3, \quad 5^2 = 25, \quad -2 \cdot \sqrt{3} \cdot 5 = -10\sqrt{3}.$$

Получаем:

$$(\sqrt{3} — 5)^2 = 3 — 10\sqrt{3} + 25 = 28 — 10\sqrt{3}.$$

Запишем уравнение с целыми коэффициентами:
Теперь пусть $a = 1$, $b = 10$. Подставим это в уравнение:

$$1 \cdot (\sqrt{3} — 5)^2 + 10(\sqrt{3} — 5) + c = 0.$$

Подставляем $(\sqrt{3} — 5)^2 = 28 — 10\sqrt{3}$:

$$28 — 10\sqrt{3} + 10(\sqrt{3} — 5) + c = 0.$$

Раскроем скобки:

$$28 — 10\sqrt{3} + 10\sqrt{3} — 50 + c = 0.$$

Видим, что $-10\sqrt{3}$ и $10\sqrt{3}$ сокращаются:

$$28 — 50 + c = 0.$$

Упростим:

$$-22 + c = 0.$$

Решаем относительно $c$:

$$c = 22.$$

Ответ:
Получаем квадратное уравнение:

$$x^2 + 10x + 22 = 0.$$

Ответ: Квадратное уравнение: $x^2 + 10x + 22 = 0$.

в) $x = \sqrt{5} — 2$

Теперь составим квадратное уравнение, у которого корень $x = \sqrt{5} — 2$.

Уравнение в стандартном виде:
Мы ищем уравнение вида:

$$ax^2 + bx + c = 0.$$

Возведем корень в квадрат:
Возведем $x = \sqrt{5} — 2$ в квадрат:

$$(\sqrt{5} — 2)^2 = (\sqrt{5})^2 — 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2.$$

Посчитаем:

$$(\sqrt{5})^2 = 5, \quad 2^2 = 4, \quad -2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 = -4\sqrt{5}.$$

Получаем:

$$(\sqrt{5} — 2)^2 = 5 — 4\sqrt{5} + 4 = 9 — 4\sqrt{5}.$$

Запишем уравнение с целыми коэффициентами:
Пусть $a = 1$, $b = 4$. Подставим это в уравнение:

$$1 \cdot (\sqrt{5} — 2)^2 + 4(\sqrt{5} — 2) + c = 0.$$

Подставляем $(\sqrt{5} — 2)^2 = 9 — 4\sqrt{5}$:

$$9 — 4\sqrt{5} + 4(\sqrt{5} — 2) + c = 0.$$

Раскроем скобки:

$$9 — 4\sqrt{5} + 4\sqrt{5} — 8 + c = 0.$$

Видим, что $-4\sqrt{5}$ и $4\sqrt{5}$ сокращаются:

$$9 — 8 + c = 0.$$

Упростим:

$$1 + c = 0.$$

Решаем относительно $c$:

$$c = -1.$$

Ответ:
Получаем квадратное уравнение:

$$x^2 + 4x — 1 = 0.$$

Ответ: Квадратное уравнение: $x^2 + 4x — 1 = 0$.

г) $x = \sqrt{3} — \sqrt{8}$

Теперь составим квадратное уравнение, у которого корень $x = \sqrt{3} — \sqrt{8}$.

Уравнение в стандартном виде:
Мы ищем уравнение вида:

$$ax^2 + bx + c = 0.$$

Возведем корень в квадрат:
Возведем $x = \sqrt{3} — \sqrt{8}$ в квадрат:

$$(\sqrt{3} — \sqrt{8})^2 = (\sqrt{3})^2 — 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{8} + (\sqrt{8})^2.$$

Посчитаем:

$$(\sqrt{3})^2 = 3, \quad (\sqrt{8})^2 = 8, \quad -2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{8} = -2\sqrt{24}.$$

Получаем:

$$(\sqrt{3} — \sqrt{8})^2 = 3 — 2\sqrt{24} + 8 = 11 — 2\sqrt{24}.$$

Здесь возникает новый корень $\sqrt{24}$, который не является целым числом. Это затрудняет дальнейшую работу с уравнением в целых числах.

Вывод:
Появление числа под знаком корня затрудняет составление уравнения с целыми коэффициентами.

Ответ: Нет такого уравнения.