ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 30.10 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:

а) $y=\cos x-2\sin x-1$

б) $y = |5 \sin x + 12 \cos x — 17|$

в) $y = 3 \cos \frac{x}{2} + 4 \sin \frac{x}{2} — 5$

г) $y = |7 \sin 2x — 24 \cos 2x| + 15$

Найти наименьшее и наибольшее значения функции:

а) $y = \cos x — 2 \sin x — 1 = -(2 \sin x — \cos x) — 1$;
$y = -\sqrt{4 + 1} \sin(x — t) — 1 = -\sqrt{5} \sin(x — t) — 1$;

Множество значений функции:
$-1 \leq \sin(x — t) \leq 1;$
$-\sqrt{5} \leq -\sqrt{5} \sin(x — t) \leq \sqrt{5};$
$-\sqrt{5} — 1 \leq -\sqrt{5} \sin(x — t) — 1 \leq \sqrt{5} — 1;$

Ответ: $-\sqrt{5} — 1$; $\sqrt{5} — 1$.

б) $y = |5 \sin x + 12 \cos x — 17|$;
$y = |\sqrt{25 + 144} \sin(x + t) — 17| = |13 \sin(x + t) — 17|$;

Множество значений функции:
$-1 \leq \sin(x + t) \leq 1;$
$-13 \leq 13 \sin(x + t) \leq 13;$
$-30 \leq 13 \sin(x + t) — 17 \leq -4;$
$4 \leq |13 \sin(x + t) — 17| \leq 30;$

Ответ: $4$; $30$.

в) $y = 3 \cos \frac{x}{2} + 4 \sin \frac{x}{2} — 5$;
$y = \sqrt{16 + 9} \sin\left(\frac{x}{2} + t\right) — 5 = 5 \sin\left(\frac{x}{2} + t\right) — 5$;

Множество значений функции:
$-1 \leq \sin\left(\frac{x}{2} + t\right) \leq 1;$
$-5 \leq 5 \sin\left(\frac{x}{2} + t\right) \leq 5;$
$-10 \leq 5 \sin\left(\frac{x}{2} + t\right) — 5 \leq 0;$

Ответ: $-10$; $0$.

г) $y = |7 \sin 2x — 24 \cos 2x| + 15$;
$y = |\sqrt{49 + 576} \sin(2x — t)| + 15 = |25 \sin(2x — t)| + 15$;

Множество значений функции:
$-1 \leq \sin(2x — t) \leq 1;$
$-25 \leq 25 \sin(2x — t) \leq 25;$
$0 \leq |25 \sin(2x — t)| \leq 25;$
$15 \leq |25 \sin(2x — t)| + 15 \leq 40;$

Ответ: $15$; $40$.

а) Найти наименьшее и наибольшее значения функции:

$$y = \cos x — 2 \sin x — 1$$

Шаг 1: Преобразуем выражение

$$y = \cos x — 2 \sin x — 1 = -(2 \sin x — \cos x) — 1$$

Это удобно, потому что можно выразить это как амплитудно-фазовое преобразование.

Шаг 2: Представим в виде одной синусоиды

Вспомним формулу:

$$a \sin x + b \cos x = R \sin(x + \varphi),$$

где

$$R = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad \tan \varphi = \frac{b}{a}$$

Применим это к $2 \sin x — \cos x$:

• $a = 2$, $b = -1$
• Тогда:

  $$R = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$$

• Тогда:

  $$2 \sin x — \cos x = \sqrt{5} \sin(x + t), \quad t = \arctan\left(\frac{-1}{2}\right)$$

Значит:

$$y = -\sqrt{5} \sin(x + t) — 1$$

Шаг 3: Найдём наименьшее и наибольшее значения

Знаем:

$$-1\le \sin (x+t)\le 1\Rightarrow -\sqrt{5}\le -\sqrt{5}\sin (x+t)\le \sqrt{5}\Rightarrow$$

$$-1 \leq \sin(x + t) \leq 1 \Rightarrow -\sqrt{5} \leq -\sqrt{5} \sin(x + t) \leq \sqrt{5} \Rightarrow -\sqrt{5} — 1 \leq y \leq \sqrt{5} — 1$$

Ответ:

$$y_{\min} = -\sqrt{5} — 1, \quad y_{\max} = \sqrt{5} — 1$$

б) $y = |5 \sin x + 12 \cos x — 17|$

Шаг 1: Представим $5 \sin x + 12 \cos x$ в виде одной синусоиды

Используем ту же формулу:

$$R=\sqrt{5^2+{12}^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\Rightarrow$$

$$R = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \Rightarrow 5 \sin x + 12 \cos x = 13 \sin(x + t), \quad t = \arctan\left(\frac{12}{5}\right)$$

Тогда:

$$y = |13 \sin(x + t) — 17|$$

Шаг 2: Найдём диапазон выражения внутри модуля

$$-1\le \sin (x+t)\le 1\Rightarrow -13\le 13\sin (x+t)\le 13\Rightarrow$$

$$-1 \leq \sin(x + t) \leq 1 \Rightarrow -13 \leq 13 \sin(x + t) \leq 13 \Rightarrow -30 \leq 13 \sin(x + t) — 17 \leq -4$$

Заметим: всё значение выражения отрицательное, поэтому:

$$\mathrm{\mid }13\sin (x+t)-17\mathrm{\mid }=-(13\sin (x+t)-17)=$$

$$|13 \sin(x + t) — 17| = -(13 \sin(x + t) — 17) = 17 — 13 \sin(x + t) \Rightarrow \text{Модуль меняет знак}$$

Шаг 3: Найдём значения функции

$$y = |13 \sin(x + t) — 17| \in [4, 30]$$

Ответ:

$$y_{\min} = 4, \quad y_{\max} = 30$$

в) $y = 3 \cos \frac{x}{2} + 4 \sin \frac{x}{2} — 5$

Шаг 1: Объединяем в синус

$$a=4,b=3\Rightarrow R=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\Rightarrow$$

$$a = 4, \quad b = 3 \Rightarrow R = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \Rightarrow 3 \cos \frac{x}{2} + 4 \sin \frac{x}{2} = 5 \sin\left(\frac{x}{2} + t\right)$$

Тогда:

$$y = 5 \sin\left(\frac{x}{2} + t\right) — 5$$

Шаг 2: Найдём диапазон значений

$$-1\le \sin (\frac{x}{2}+t)\le 1\Rightarrow -5\le 5\sin (\frac{x}{2}+t)\le 5\Rightarrow$$

$$-1 \leq \sin\left(\frac{x}{2} + t\right) \leq 1 \Rightarrow -5 \leq 5 \sin\left(\frac{x}{2} + t\right) \leq 5 \Rightarrow -10 \leq y \leq 0$$

Ответ:

$$y_{\min} = -10, \quad y_{\max} = 0$$

г) $y = |7 \sin 2x — 24 \cos 2x| + 15$

Шаг 1: Преобразуем в одну синусоиду

$$a=7,b=-24\Rightarrow R=\sqrt{7^2+(-24{)}^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25\Rightarrow$$

$$a = 7, \quad b = -24 \Rightarrow R = \sqrt{7^2 + (-24)^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25 \Rightarrow 7 \sin 2x — 24 \cos 2x = 25 \sin(2x — t)$$

Тогда:

$$y = |25 \sin(2x — t)| + 15$$

Шаг 2: Значения синуса

$$-1\le \sin (2x-t)\le 1\Rightarrow -25\le 25\sin (2x-t)\le 25\Rightarrow$$

$$-1 \leq \sin(2x — t) \leq 1 \Rightarrow -25 \leq 25 \sin(2x — t) \leq 25 \Rightarrow 0 \leq |25 \sin(2x — t)| \leq 25 \Rightarrow 15 \leq y \leq 40$$

Ответ:

$$y_{\min} = 15, \quad y_{\max} = 40$$