ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 30.11 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:

а) $y=\cos x-\sqrt{3}\sin x+2\sqrt{3}\cos (\frac{\pi }{6}-x);$

б) $y=\cos 2x+\sin 2x-\sqrt{7}\sin (\frac{\pi }{4}-2x)$

а) $y = \cos x — \sqrt{3} \sin x + 2\sqrt{3} \cos \left( \frac{\pi}{6} — x \right);$

$y = -\sqrt{3} + 1 \sin \left( x — \arcsin \frac{1}{\sqrt{3} + 1} \right) + 2\sqrt{3} \cos \left( x — \frac{\pi}{6} \right);$

$y = -2 \sin \left( x — \arcsin \frac{1}{2} \right) + 2\sqrt{3} \cos \left( x — \frac{\pi}{6} \right);$

$y = -2 \left( \sin \left( x — \frac{\pi}{6} \right) — \sqrt{3} \cos \left( x — \frac{\pi}{6} \right) \right);$

$y = -2 \cdot \sqrt{1 + 3} \sin \left( x — \frac{\pi}{6} — t \right) = -4 \sin \left( x — \frac{\pi}{6} — t \right);$

Множество значений функции:

$-1 \leq \sin \left( x — \frac{\pi}{6} — t \right) \leq 1;$

$-4 \leq -4 \sin \left( x — \frac{\pi}{6} — t \right) \leq 4;$

Ответ: $-4; 4.$

б) $y = \cos 2x + \sin 2x — \sqrt{7} \sin \left( \frac{\pi}{4} — 2x \right);$

$y = \sqrt{1 + 1} \cos \left( 2x — \arcsin \frac{1}{\sqrt{1 + 1}} \right) + \sqrt{7} \sin \left( 2x — \frac{\pi}{4} \right);$

$y = \sqrt{2} \cos \left( 2x — \frac{\pi}{4} \right) + \sqrt{7} \sin \left( 2x — \frac{\pi}{4} \right);$

$y = \sqrt{2 + 7} \sin \left( 2x — \frac{\pi}{4} + t \right) = 3 \sin \left( 2x — \frac{\pi}{4} + t \right);$

Множество значений функции:

$-1 \leq \sin \left( 2x — \frac{\pi}{4} + t \right) \leq 1;$

$-3 \leq 3 \sin \left( 2x — \frac{\pi}{4} + t \right) \leq 3;$

Ответ: $-3; 3.$

а)

Дана функция:

$$y = \cos x — \sqrt{3} \sin x + 2\sqrt{3} \cos\left(\frac{\pi}{6} — x\right)$$

Шаг 1. Преобразуем последний косинус

Используем формулу:

$$\cos(A — B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$$

Тогда:

$$\cos\left(\frac{\pi}{6} — x\right) = \cos\frac{\pi}{6} \cos x + \sin\frac{\pi}{6} \sin x$$

Подставим значения:

• $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

$$\cos\left(\frac{\pi}{6} — x\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x$$

Умножаем на $2\sqrt{3}$:

$$2\sqrt{3} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6} — x\right) = 2\sqrt{3} \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x \right) = 3 \cos x + \sqrt{3} \sin x$$

Шаг 2. Подставим обратно в исходное выражение

$$y=\cos x-\sqrt{3}\sin x+3\cos x+\sqrt{3}\sin x\Rightarrow$$

$$y = \cos x — \sqrt{3} \sin x + 3 \cos x + \sqrt{3} \sin x \Rightarrow y = (1 + 3)\cos x + (-\sqrt{3} + \sqrt{3}) \sin x = 4 \cos x$$

Шаг 3. Найдём наименьшее и наибольшее значение

Знаем, что:

$$-1 \leq \cos x \leq 1 \Rightarrow -4 \leq y \leq 4$$

Ответ:

$$y_{\min} = -4, \quad y_{\max} = 4$$

б)

Дана функция:

$$y = \cos 2x + \sin 2x — \sqrt{7} \sin\left(\frac{\pi}{4} — 2x\right)$$

Шаг 1. Упростим синус разности

Формула:

$$\sin(A — B) = \sin A \cos B — \cos A \sin B$$

Применим:

$$\sin\left(\frac{\pi}{4} — 2x\right) = \sin\frac{\pi}{4} \cos 2x — \cos\frac{\pi}{4} \sin 2x$$

Подставим значения:

• $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$$\sin\left(\frac{\pi}{4} — 2x\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos 2x — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin 2x$$

Умножаем на $-\sqrt{7}$:

$$-\sqrt{7} \sin\left(\frac{\pi}{4} — 2x\right) = -\sqrt{7} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos 2x — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin 2x \right) = -\frac{\sqrt{14}}{2} \cos 2x + \frac{\sqrt{14}}{2} \sin 2x$$

Шаг 2. Соберём все члены

Исходная часть:

$$\cos 2x + \sin 2x$$

Добавим результат из предыдущего шага:

$$y = \cos 2x + \sin 2x — \frac{\sqrt{14}}{2} \cos 2x + \frac{\sqrt{14}}{2} \sin 2x$$

Группируем:

$$y = \left(1 — \frac{\sqrt{14}}{2} \right) \cos 2x + \left(1 + \frac{\sqrt{14}}{2} \right) \sin 2x$$

Это выражение вида:

$$y = a \cos 2x + b \sin 2x$$

где:

• $a = 1 — \frac{\sqrt{14}}{2}$
• $b = 1 + \frac{\sqrt{14}}{2}$

Шаг 3. Представим как одну синусоиду

$$y = R \sin(2x + \varphi), \quad R = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Посчитаем:

• $a = 1 — \frac{\sqrt{14}}{2} \approx 1 — 1.87 = -0.87$
• $b = 1 + \frac{\sqrt{14}}{2} \approx 1 + 1.87 = 2.87$

$$R \approx \sqrt{(-0.87)^2 + (2.87)^2} \approx \sqrt{0.7569 + 8.2369} \approx \sqrt{8.9938} \approx 3$$

То есть:

$$y = 3 \sin(2x + \varphi)$$

Шаг 4. Найдём значения функции

$$-1 \leq \sin(2x + \varphi) \leq 1 \Rightarrow -3 \leq y \leq 3$$

Ответ:

$$y_{\min} = -3, \quad y_{\max} = 3$$