ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 30.12 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

При каком значении параметра $a$ наибольшее значение заданной функции равно числу $M$:

а) $y = 6 \sin 1.5x — 8 \cos 1.5x + a, \quad M = 17;$

б) $y=7\sin 0.3x+24\cos 0.3x+a,M=-17$

При каком значении параметра $a$ наибольшее значение заданной функции равно числу $M$:

а) $y = 6 \sin 1.5x — 8 \cos 1.5x + a, \quad M = 17;$

$y = \sqrt{36 + 64} \sin(1.5x — t) + a;$

$y = 10 \sin(1.5x — t) + a;$

Наибольшее значение равно числу $M$ при:

$10 + a = 17;$

$a = 7;$

Ответ: 7.

б) $y = 7 \sin 0.3x + 24 \cos 0.3x + a, \quad M = -17;$

$y = \sqrt{49 + 576} \sin(0.3x + t) + a;$

$y = 25 \sin(0.3x + t) + a;$

Наибольшее значение равно числу $M$ при:

$25 + a = -17;$

$a = -42;$

Ответ: -42.

Найти значение параметра $a$, при котором наибольшее значение функции равно числу $M$.

а) Дано:

$$y = 6 \sin(1.5x) — 8 \cos(1.5x) + a,\quad M = 17$$

Шаг 1: Преобразование суммы синуса и косинуса

Функция имеет вид:

$$y = A \sin(1.5x) + B \cos(1.5x) + a$$

где $A = 6$, $B = -8$

Применим формулу приведения:

$$A \sin(\theta) + B \cos(\theta) = R \sin(\theta + \varphi)$$

где:

• $R = \sqrt{A^2 + B^2}$
• $\varphi$ — некоторый угол

Шаг 2: Найдём амплитуду $R$

$$R = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$

Шаг 3: Представим функцию в виде

$$y = 10 \sin(1.5x + t) + a,\quad \text{(где } t \text{ — некоторая постоянная)}$$

(Форма записи сдвига аргумента не влияет на максимальное значение функции.)

Шаг 4: Найдём наибольшее значение функции

Так как $\sin(\cdot)$ изменяется в пределах от $-1$ до $1$, то:

$$-10 \leq 10 \sin(1.5x + t) \leq 10$$

Значит:

$$y_{\text{max}} = 10 + a$$

Шаг 5: Приравниваем к $M = 17$

$$10 + a = 17 \Rightarrow a = 17 — 10 = 7$$

Ответ к пункту а:

$$\boxed{7}$$

б) Дано:

$$y = 7 \sin(0.3x) + 24 \cos(0.3x) + a,\quad M = -17$$

Шаг 1: Вид функции

Опять же:

$$y = A \sin(0.3x) + B \cos(0.3x) + a$$

где $A = 7$, $B = 24$

Шаг 2: Найдём амплитуду

$$R = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$$

Шаг 3: Представим функцию в виде

$$y = 25 \sin(0.3x + t) + a$$

Шаг 4: Найдём наибольшее значение функции

$$-25 \leq 25 \sin(0.3x + t) \leq 25 \Rightarrow y_{\text{max}} = 25 + a$$

Шаг 5: Приравниваем к $M = -17$

$$25 + a = -17 \Rightarrow a = -17 — 25 = -42$$

Ответ к пункту б:

$$\boxed{-42}$$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{7}$
б) $\boxed{-42}$