ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 30.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

При каком значении параметра $a$ наименьшее значение заданной функции равно числу $m$:

а) $y = -9 \sin 1{,}4x — 12 \cos 1{,}4x + a$, $\quad m = 1$;

б) $y = 3{,}5 \sin 0{,}2x — 12 \cos 0{,}2x + a$, $\quad m = -1$

При каком значении параметра $a$ наименьшее значение заданной функции равно числу $m$:

а) $y = -9 \sin 1{,}4x — 12 \cos 1{,}4x + a$, $\quad m = 1$;

$y = -(9 \sin 1{,}4x + 12 \cos 1{,}4x) + a$;

$y = -\sqrt{81 + 144} \sin(1{,}4x + t) + a$;

$y = -15 \sin(1{,}4x + t) + a$;

Наименьшее значение равно числу $m$ при:

$$-15 + a = 1;$$ $$a = 16;$$

Ответ: 16.

б) $y = 3{,}5 \sin 0{,}2x — 12 \cos 0{,}2x + a$, $\quad m = -1$;

$y = \sqrt{12{,}25 + 144} \sin(0{,}2x — t) + a$;

$y = \sqrt{156{,}25} \sin(0{,}2x — t) + a$;

$y = 12{,}5 \sin(0{,}2x — t) + a$;

Наименьшее значение равно числу $m$ при:

$$-12{,}5 + a = -1;$$ $$a = 11{,}5;$$

Ответ: 11,5.

а) $y = -9 \sin 1{,}4x — 12 \cos 1{,}4x + a$, $m = 1$

Шаг 1: Приведём к одной тригонометрической функции

Нам дана функция:

$$y = -9 \sin(1{,}4x) — 12 \cos(1{,}4x) + a$$

Вынесем минус за скобку из первых двух слагаемых:

$$y = -\left(9 \sin(1{,}4x) + 12 \cos(1{,}4x)\right) + a$$

Теперь сгруппированное выражение $9 \sin(1{,}4x) + 12 \cos(1{,}4x)$ представим в виде одной синусоиды:

$$9 \sin(1{,}4x) + 12 \cos(1{,}4x) = R \sin(1{,}4x + \varphi)$$

Шаг 2: Найдём амплитуду $R$

По формуле:

$$R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$$

Таким образом:

$$9 \sin(1{,}4x) + 12 \cos(1{,}4x) = 15 \sin(1{,}4x + \varphi)$$

Тогда:

$$y = -15 \sin(1{,}4x + \varphi) + a$$

Шаг 3: Найдём наименьшее значение функции

Синус лежит в пределах от -1 до 1, то есть:

$$\sin(1{,}4x + \varphi) \in [-1; 1]$$

Тогда:

$$y = -15 \sin(1{,}4x + \varphi) + a \in [-15 + a; 15 + a]$$

Наименьшее значение функции:

$$y_{\text{min}} = -15 + a$$

Шаг 4: Приравниваем к $m = 1$

$$-15 + a = 1$$ $$a = 1 + 15 = 16$$

Ответ (а): $\boxed{16}$

б) $y = 3{,}5 \sin 0{,}2x — 12 \cos 0{,}2x + a$, $m = -1$

Шаг 1: Представим как одну синусоиду

Дано:

$$y = 3{,}5 \sin(0{,}2x) — 12 \cos(0{,}2x) + a$$

Заметим, что можно записать так:

$$y = \left(3{,}5 \sin(0{,}2x) + (-12) \cos(0{,}2x)\right) + a$$

И снова сведём к одной функции:

$$3{,}5 \sin(0{,}2x) — 12 \cos(0{,}2x) = R \sin(0{,}2x + \varphi)$$

Шаг 2: Найдём амплитуду $R$

$$R = \sqrt{(3{,}5)^2 + (-12)^2} = \sqrt{12{,}25 + 144} = \sqrt{156{,}25}$$ $$R = 12{,}5$$

Тогда:

$$3{,}5 \sin(0{,}2x) — 12 \cos(0{,}2x) = 12{,}5 \sin(0{,}2x + \varphi)$$

Функция:

$$y = 12{,}5 \sin(0{,}2x + \varphi) + a$$

Шаг 3: Найдём наименьшее значение

Снова, синус от -1 до 1:

$$y = 12{,}5 \sin(0{,}2x + \varphi) + a \in [-12{,}5 + a; 12{,}5 + a]$$

Наименьшее значение:

$$y_{\text{min}} = -12{,}5 + a$$

Шаг 4: Приравниваем к $m = -1$

$$-12{,}5 + a = -1$$ $$a = -1 + 12{,}5 = 11{,}5$$

Ответ (б): $\boxed{11{,}5}$