ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 30.15 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а)

$$\sqrt{3}\sin x+\cos x=1;$$

б)

$$\sin x+\cos x=\sqrt{2};$$

в)

$$\sin x-\sqrt{3}\cos x=\sqrt{3};$$

г)

$$\sin x-\cos x=1$$

а)

$$\sqrt{3} \sin x + \cos x = 1;$$ $$\sqrt{3+1} \cos \left( x — \arccos \frac{1}{\sqrt{3+1}} \right) = 1;$$ $$2 \cos \left( x — \arccos \frac{1}{2} \right) = 1;$$ $$\cos \left( x — \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2};$$ $$x — \frac{\pi}{3} = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x_1 = \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = 2\pi n;$$ $$x_2 = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$

Ответ: $2\pi n; \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

б)

$$\sin x + \cos x = \sqrt{2};$$ $$\sqrt{1+1} \cos \left( x — \arccos \frac{1}{\sqrt{1+1}} \right) = \sqrt{2};$$ $$\sqrt{2} \cos \left( x — \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \sqrt{2};$$ $$\cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = 1;$$ $$x — \frac{\pi}{4} = 2\pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

в)

$$\sin x — \sqrt{3} \cos x = \sqrt{3};$$ $$-\sqrt{1+3} \cos \left( x + \arcsin \frac{1}{\sqrt{1+3}} \right) = \sqrt{3};$$ $$-2 \cos \left( x + \arcsin \frac{1}{2} \right) = \sqrt{3};$$ $$\cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$x + \frac{\pi}{6} = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$x_1 = -\frac{\pi}{6} — \frac{5\pi}{6} + 2\pi n = -\pi + 2\pi n;$$ $$x_2 = -\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$

Ответ: $\pi + 2\pi n; \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

г)

$$\sin x — \cos x = 1;$$ $$-\sqrt{1+1} \cos \left( x + \arcsin \frac{1}{\sqrt{1+1}} \right) = 1;$$ $$-\sqrt{2} \cos \left( x + \arcsin \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 1;$$ $$\cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = -\frac{1}{\sqrt{2}};$$ $$x + \frac{\pi}{4} = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$x_1 = \frac{\pi}{4} — \frac{3\pi}{4} + 2\pi n = -\pi + 2\pi n;$$ $$x_2 = -\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Ответ: $\pi + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

а) Уравнение:

$$\sqrt{3} \sin x + \cos x = 1$$

Шаг 1: Приведение к форме

Запишем выражение в виде:

$$a \sin x + b \cos x = c$$

где $a = \sqrt{3},\ b = 1,\ c = 1$.

Шаг 2: Преобразование суммы синуса и косинуса в одну функцию

Используем формулу:

$$a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \cos\left(x — \varphi\right)$$

где

$$\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}},\quad \sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

Шаг 3: Вычисление коэффициентов

$$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$$ $$\cos \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2},\quad \sin \varphi = \frac{1}{2}$$

Это соответствует углу $\varphi = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$,
или, что то же самое: $\varphi = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right)$

Шаг 4: Получаем эквивалентное уравнение

$$\sqrt{3} \sin x + \cos x = 1 \Rightarrow 2 \cos\left(x — \frac{\pi}{6}\right) = 1$$

Шаг 5: Делим обе части на 2

$$\cos\left(x — \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$$

Шаг 6: Решаем основное тригонометрическое уравнение

$$\cos y = \frac{1}{2} \Rightarrow y = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Подставляем $y = x — \frac{\pi}{6}$:

$$x — \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Шаг 7: Находим $x$

Первый корень:

$$x_1 = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Второй корень:

$$x_2 = \frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$$

$$\cos\left(x — \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \Rightarrow x — \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Шаг 8: Финальные значения $x$

1. $x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
2. $x = \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = 2\pi n$

Ответ (а):

$$x = 2\pi n;\quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

б) Уравнение:

$$\sin x + \cos x = \sqrt{2}$$

Шаг 1: Приведение к одной косинусной функции

Это снова сумма синуса и косинуса с равными коэффициентами:

$$a = 1,\ b = 1 \Rightarrow R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2}$$ $$\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}},\quad \varphi = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\pi}{4}$$ $$\sin x + \cos x = \sqrt{2} \Rightarrow \sqrt{2} \cos\left(x — \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}$$

Шаг 2: Делим обе части на $\sqrt{2}$

$$\cos\left(x — \frac{\pi}{4}\right) = 1$$

Шаг 3: Решение

$$x — \frac{\pi}{4} = 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

Ответ (б):

$$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

в) Уравнение:

$$\sin x — \sqrt{3} \cos x = \sqrt{3}$$

Шаг 1: Выделим коэффициенты

$$a = 1,\ b = -\sqrt{3} \Rightarrow R = \sqrt{1 + 3} = 2$$

Шаг 2: Угловая редукция

$$\cos \varphi = \frac{a}{2} = \frac{1}{2},\quad \varphi = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$$

Но у нас выражение:

$$\sin x-\sqrt{3}\cos x=\sqrt{3}\Rightarrow -2\cos (x+\phi )=\sqrt{3}\Rightarrow$$

$$\sin x — \sqrt{3} \cos x = \sqrt{3} \Rightarrow -2 \cos\left(x + \varphi\right) = \sqrt{3} \Rightarrow \cos\left(x + \varphi\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 3: Решение уравнения

$$\cos (x+\phi )=-\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x+\phi =\pm (\pi -\arccos \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right))+$$

$$\cos\left(x + \varphi\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x + \varphi = \pm\left(\pi — \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) + 2\pi n = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

Шаг 4: Подставляем $\varphi = \frac{\pi}{6}$ (эквивалентная форма)

$$x + \frac{\pi}{6} = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

Шаг 5: Находим $x$

1. $x_1 = -\frac{5\pi}{6} — \frac{\pi}{6} + 2\pi n = -\pi + 2\pi n$
2. $x_2 = \frac{5\pi}{6} — \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

Ответ (в):

$$x = \pi + 2\pi n;\quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

г) Уравнение:

$$\sin x — \cos x = 1$$

Шаг 1: Коэффициенты

$$a = 1,\ b = -1 \Rightarrow R = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$$ $$\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}},\quad \sin \varphi = \frac{-1}{\sqrt{2}},\quad \varphi = -\frac{\pi}{4}$$ $$\sin x — \cos x = 1 \Rightarrow -\sqrt{2} \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1 \Rightarrow \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$$

Шаг 2: Решение уравнения

$$x + \frac{\pi}{4} = \pm\left(\pi — \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$$

Шаг 3: Находим $x$

1. $x_1 = -\frac{3\pi}{4} — \frac{\pi}{4} + 2\pi n = -\pi + 2\pi n$
2. $x_2 = \frac{3\pi}{4} — \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Ответ (г):

$$x = \pi + 2\pi n;\quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$