ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 30.16 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а)

$$\cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x=\sqrt{2};$$

б)

$$\sin 5x-\cos 5x=\frac{\sqrt{6}}{2};$$

в)

$$\cos \frac{x}{2}-\sqrt{3}\sin \frac{x}{2}+1=0;$$

г)

$$\sin \frac{x}{3}+\cos \frac{x}{3}=1$$

а)

$$\cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x = \sqrt{2};$$ $$\sqrt{3+1} \sin \left( 2x + \arcsin \frac{1}{\sqrt{3+1}} \right) = \sqrt{2};$$ $$2 \sin \left( 2x + \arcsin \frac{1}{2} \right) = \sqrt{2};$$ $$\sin \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$2x + \frac{\pi}{6} = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{6} + \pi n \right) = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{8} — \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2};$$

Ответ:

$$(-1)^n \cdot \frac{\pi}{8} — \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}.$$

б)

$$\sin 5x — \cos 5x = \frac{\sqrt{6}}{2};$$ $$\sqrt{1+1} \sin \left( 5x — \arcsin \frac{1}{\sqrt{1+1}} \right) = \frac{\sqrt{6}}{2};$$ $$\sqrt{2} \sin \left( 5x — \arcsin \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{\sqrt{6}}{2};$$ $$\sin \left( 5x — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$5x — \frac{\pi}{4} = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{5} \left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + \pi n \right) = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{15} + \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5};$$

Ответ:

$$(-1)^n \cdot \frac{\pi}{15} + \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}.$$

в)

$$\cos \frac{x}{2} — \sqrt{3} \sin \frac{x}{2} + 1 = 0;$$ $$\sqrt{3} \sin \frac{x}{2} — \cos \frac{x}{2} = 1;$$ $$-\sqrt{3+1} \cos \left( \frac{x}{2} + \arccos \frac{1}{\sqrt{3+1}} \right) = 1;$$ $$-2 \cos \left( \frac{x}{2} + \arccos \frac{1}{2} \right) = 1;$$ $$\cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right) = -\frac{1}{2};$$ $$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x = 2 \left( -\frac{\pi}{3} — \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right) = -2\pi + 4\pi n;$$ $$x = 2 \left( -\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right) = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n;$$

Ответ:

$$-2\pi + 4\pi n; \quad \frac{2\pi}{3} + 4\pi n.$$

г)

$$\sin \frac{x}{3} + \cos \frac{x}{3} = 1;$$ $$\sqrt{1+1} \cos \left( \frac{x}{3} — \arccos \frac{1}{\sqrt{1+1}} \right) = 1;$$ $$\sqrt{2} \cos \left( \frac{x}{3} — \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 1;$$ $$\cos \left( \frac{x}{3} — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}};$$ $$\frac{x}{3} — \frac{\pi}{4} = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$x_1 = 3 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{4} + 2\pi n \right) = 6\pi n;$$ $$x_2 = 3 \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n \right) = \frac{3\pi}{2} + 6\pi n;$$

Ответ:

$$6\pi n;\frac{3\pi }{2}+6\pi n\mathrm{.}$$

а)

Решить:

$$\cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x = \sqrt{2}$$

Шаг 1. Приведение к одной тригонометрической функции

Выражение вида $a \cos t + b \sin t$ приводится к форме:

$$\sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sin(t + \alpha), \quad \text{где } \alpha = \arcsin\left(\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\right)$$

Здесь:

• $a = \sqrt{3}$, $b = 1$
• $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2$

Следовательно:

$$\cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x = 2 \cdot \sin\left(2x + \arcsin\left(\frac{1}{2}\right)\right)$$

Так как $\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$, получаем:

$$\cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x = 2 \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$$

Шаг 2. Приравниваем к правой части:

$$2 \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{2} \Rightarrow \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 3. Решение тригонометрического уравнения:

$$\sin A = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow A = (-1)^n \cdot \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi n \Rightarrow A = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Значит:

$$2x + \frac{\pi}{6} = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Шаг 4. Выражаем $x$:

$$2x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{6} + \pi n \Rightarrow x = \frac{1}{2} \left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{6} + \pi n \right)$$

Приводим всё к общему знаменателю:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{8} — \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ (а):

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{8} — \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$$

б)

Решить:

$$\sin 5x — \cos 5x = \frac{\sqrt{6}}{2}$$

Шаг 1. Преобразуем как $a \sin t + b \cos t$:

$$\sin 5x — \cos 5x = \sqrt{1^2 + (-1)^2} \cdot \sin\left(5x + \alpha\right)$$

• $a = 1$, $b = -1$
• $\sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$
• $\alpha = \arcsin\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{\pi}{4}$

Итак:

$$\sin 5x — \cos 5x = \sqrt{2} \sin\left(5x — \frac{\pi}{4}\right)$$

Шаг 2. Приравниваем:

$$\sqrt{2} \sin\left(5x — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{6}}{2} \Rightarrow \sin\left(5x — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 3. Решаем:

$$\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow A = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n \Rightarrow 5x — \frac{\pi}{4} = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Шаг 4. Выражаем $x$:

$$5x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + \pi n \Rightarrow x = \frac{1}{5} \left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + \pi n \right)$$

Общий знаменатель:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{15} + \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}$$

Ответ (б):

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{15} + \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}$$

в)

Решить:

$$\cos \frac{x}{2} — \sqrt{3} \sin \frac{x}{2} + 1 = 0$$

Шаг 1. Переносим 1 в правую часть:

$$\cos \frac{x}{2} — \sqrt{3} \sin \frac{x}{2} = -1$$

Умножим на $-1$ обе части:

$$\sqrt{3} \sin \frac{x}{2} — \cos \frac{x}{2} = 1$$

Шаг 2. Представим в виде:

$$a \cos t + b \sin t = R \cos(t — \alpha) \Rightarrow -\cos t + \sqrt{3} \sin t = R \cos(t — \alpha)$$

• $a = -1$, $b = \sqrt{3}$,
• $R = \sqrt{1 + 3} = 2$,
• $\alpha = \arccos\left(\frac{-1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$

Но проще так:

$$\sqrt{3} \sin \frac{x}{2} — \cos \frac{x}{2} = 1 \Rightarrow -2 \cos \left( \frac{x}{2} + \arccos \frac{1}{2} \right) = 1 \Rightarrow \cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right) = -\frac{1}{2}$$

Шаг 3. Решаем:

$$\cos A = -\frac{1}{2} \Rightarrow A = \pm \left(\pi — \arccos \frac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$ $$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Шаг 4. Решения:

$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$$

$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow \frac{x}{2} = -\pi + 2\pi n \Rightarrow x = -2\pi + 4\pi n$$

Ответ (в):

$$x = -2\pi + 4\pi n; \quad x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$$

г)

Решить:

$$\sin \frac{x}{3} + \cos \frac{x}{3} = 1$$

Шаг 1. Приведём к одной функции:

$$\sin t + \cos t = \sqrt{2} \cos\left(t — \frac{\pi}{4}\right) \Rightarrow \sqrt{2} \cos\left(\frac{x}{3} — \frac{\pi}{4}\right) = 1$$

Шаг 2. Решаем:

$$\cos\left(\frac{x}{3} — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \cos \frac{\pi}{4}$$

Решения:

$$\frac{x}{3} — \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

Шаг 3. Решаем каждое:

$$\frac{x}{3} — \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow \frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{3\pi}{2} + 6\pi n$$

$$\frac{x}{3} — \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow \frac{x}{3} = 2\pi n \Rightarrow x = 6\pi n$$

Ответ (г):

$$x = 6\pi n; \quad x = \frac{3\pi}{2} + 6\pi n$$