ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 30.17 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) 4 sin $x$ — 3 cos $x$ = 5;

б) 3 sin $2x$ + 4 cos $2x$ = 2,5;

в) 12 sin $x$ + 5 cos $x$ + 13 = 0;

г) 5 cos $\frac{x}{2}$ — 12 sin $\frac{x}{2}$ = 6,5

а) 4 sin $x$ — 3 cos $x$ = 5;
$\sqrt{16 + 9} \sin \left( x — \arccos \frac{4}{\sqrt{16 + 9}} \right) = 5$;
$5 \sin \left( x — \arccos \frac{4}{5} \right) = 5$;
$\sin \left( x — \arccos \frac{4}{5} \right) = 1$;
$x — \arccos \frac{4}{5} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$;
$x = \frac{\pi}{2} + \arccos \frac{4}{5} + 2\pi n$;
Ответ: $\frac{\pi}{2} + \arccos \frac{4}{5} + 2\pi n$.

б) 3 sin $2x$ + 4 cos $2x$ = 2,5;
$\sqrt{9 + 16} \sin \left( 2x + \arccos \frac{3}{\sqrt{9 + 16}} \right) = \frac{5}{2}$;
$5 \sin \left( 2x + \arccos \frac{3}{5} \right) = \frac{5}{2}$;
$\sin \left( 2x + \arccos \frac{3}{5} \right) = \frac{1}{2}$;
$2x + \arccos \frac{3}{5} = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$;
$x = \frac{1}{2} \left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} — \arccos \frac{3}{5} + \pi n \right) = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} — \frac{1}{2} \arccos \frac{3}{5} + \frac{\pi n}{2}$;
Ответ: $(-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} — \frac{1}{2} \arccos \frac{3}{5} + \frac{\pi n}{2}$.

в) 12 sin $x$ + 5 cos $x$ + 13 = 0;
$\sqrt{144 + 25} \cos \left( x — \arccos \frac{5}{\sqrt{144 + 25}} \right) = -13$;
$13 \cos \left( x — \arccos \frac{5}{13} \right) = -13$;
$\cos \left( x — \arccos \frac{5}{13} \right) = -1$;
$x — \arccos \frac{5}{13} = \pi + 2\pi n$;
$x = \pi + \arccos \frac{5}{13} + 2\pi n$;
Ответ: $\pi + \arccos \frac{5}{13} + 2\pi n$.

г) 5 cos $\frac{x}{2}$ — 12 sin $\frac{x}{2}$ = 6,5;
$12 \sin \frac{x}{2} — 5 \cos \frac{x}{2} = -6,5$;
$-\sqrt{144 + 25} \cos \left( \frac{x}{2} + \arccos \frac{5}{\sqrt{144 + 25}} \right) = -\frac{13}{2}$;
$13 \cos \left( \frac{x}{2} + \arccos \frac{5}{13} \right) = \frac{13}{2}$;
$\cos \left( \frac{x}{2} + \arccos \frac{5}{13} \right) = \frac{1}{2}$;
$\frac{x}{2} + \arccos \frac{5}{13} = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$;
$x = 2 \left( \pm \frac{\pi}{3} — \arccos \frac{5}{13} + 2\pi n \right) = \pm \frac{2\pi}{3} — 2 \arccos \frac{5}{13} + 4\pi n$;
Ответ: $\pm \frac{2\pi}{3} — 2 \arccos \frac{5}{13} + 4\pi n$.

а)

Уравнение:

$$4 \sin x — 3 \cos x = 5$$

Шаг 1: Представим в виде одной синусоиды

Преобразуем выражение $A \sin x + B \cos x$ в выражение $R \sin(x — \alpha)$, используя формулу:

$$A \sin x + B \cos x = R \sin(x + \varphi)$$

где

$$R = \sqrt{A^2 + B^2}, \quad \cos \varphi = \frac{A}{R}, \quad \sin \varphi = \frac{B}{R}$$

Применим это к нашему уравнению:

• $A = 4$, $B = -3$
• $R = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

Тогда:

$$4 \sin x — 3 \cos x = 5 \Rightarrow 5 \sin \left( x — \arccos \frac{4}{5} \right) = 5$$

Шаг 2: Делим обе части на 5

$$\sin \left( x — \arccos \frac{4}{5} \right) = 1$$

Шаг 3: Решаем уравнение синуса

$$\sin(\theta) = 1 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Подставим обратно:

$$x — \arccos \frac{4}{5} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \arccos \frac{4}{5} + 2\pi n$$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{2} + \arccos \frac{4}{5} + 2\pi n}$$

б)

Уравнение:

$$3 \sin 2x + 4 \cos 2x = 2{,}5$$

Шаг 1: Преобразуем в синус

Аналогично:

• $A = 3$, $B = 4$
• $R = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Тогда:

$$3 \sin 2x + 4 \cos 2x = 5 \sin \left( 2x + \arccos \frac{3}{5} \right) \Rightarrow 5 \sin \left( 2x + \arccos \frac{3}{5} \right) = 2{,}5$$

Шаг 2: Делим на 5

$$\sin \left( 2x + \arccos \frac{3}{5} \right) = \frac{1}{2}$$

Шаг 3: Решаем уравнение синуса

$$\sin(\theta) = \frac{1}{2} \Rightarrow \theta = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Подставляем:

$$2x + \arccos \frac{3}{5} = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n \Rightarrow 2x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} — \arccos \frac{3}{5} + \pi n$$

Шаг 4: Делим на 2

$$x = \frac{1}{2} \left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} — \arccos \frac{3}{5} + \pi n \right) \Rightarrow x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} — \frac{1}{2} \arccos \frac{3}{5} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} — \frac{1}{2} \arccos \frac{3}{5} + \frac{\pi n}{2}}$$

в)

Уравнение:

$$12 \sin x + 5 \cos x + 13 = 0 \Rightarrow 12 \sin x + 5 \cos x = -13$$

Шаг 1: Представим в виде косинуса

• $A = 12$, $B = 5$
• $R = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$

Преобразуем:

$$12 \sin x + 5 \cos x = 13 \cos \left( x — \arccos \frac{5}{13} \right) \Rightarrow 13 \cos \left( x — \arccos \frac{5}{13} \right) = -13$$

Шаг 2: Делим на 13

$$\cos \left( x — \arccos \frac{5}{13} \right) = -1$$

Шаг 3: Решаем уравнение косинуса

$$\cos(\theta) = -1 \Rightarrow \theta = \pi + 2\pi n$$

Подставляем:

$$x — \arccos \frac{5}{13} = \pi + 2\pi n \Rightarrow x = \pi + \arccos \frac{5}{13} + 2\pi n$$

Ответ:

$$\boxed{x = \pi + \arccos \frac{5}{13} + 2\pi n}$$

г)

Уравнение:

$$5 \cos \left( \frac{x}{2} \right) — 12 \sin \left( \frac{x}{2} \right) = 6{,}5$$

Шаг 1: Удобнее поменять местами и знаки

$$12 \sin \frac{x}{2} — 5 \cos \frac{x}{2} = -6{,}5$$

Теперь: $A = 12$, $B = -5$,

$$R = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$$

Преобразуем:

$$12 \sin \frac{x}{2} — 5 \cos \frac{x}{2} = -13 \cos \left( \frac{x}{2} + \arccos \frac{5}{13} \right) \Rightarrow -13 \cos \left( \frac{x}{2} + \arccos \frac{5}{13} \right) = -6{,}5$$

Шаг 2: Убираем минусы

$$13 \cos \left( \frac{x}{2} + \arccos \frac{5}{13} \right) = 6{,}5 \Rightarrow \cos \left( \frac{x}{2} + \arccos \frac{5}{13} \right) = \frac{1}{2}$$

Шаг 3: Решаем уравнение косинуса

$$\cos(\theta) = \frac{1}{2} \Rightarrow \theta = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Подставим:

$$\frac{x}{2} + \arccos \frac{5}{13} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow \frac{x}{2} = \pm \frac{\pi}{3} — \arccos \frac{5}{13} + 2\pi n$$

Шаг 4: Умножаем обе части на 2

$$x = \pm \frac{2\pi}{3} — 2 \arccos \frac{5}{13} + 4\pi n$$

Ответ:

$$\boxed{x = \pm \frac{2\pi}{3} — 2 \arccos \frac{5}{13} + 4\pi n}$$$$