ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 30.18 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а)

$$\sin 2x-\cos 2x=\sqrt{2}\sin 3x;$$

б)

$$\sqrt{3}\sin x-\cos x=2\cos 3x;$$

в)

$$\sin 5x+\cos 5x=\sqrt{2}\cos x;$$

г)

$$\sin 2x+\sqrt{3}\cos 2x=2\sin 4x$$

а)

$$\sin 2x — \cos 2x = \sqrt{2} \sin 3x;$$ $$\sqrt{1+1} \sin \left( 2x — \arcsin \frac{1}{\sqrt{1+1}} \right) = \sqrt{2} \sin 3x;$$ $$\sqrt{2} \sin \left( 2x — \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \sin 3x;$$ $$\sin 3x — \sin \left( 2x — \frac{\pi}{4} \right) = 0;$$ $$2 \sin \frac{3x — \left( 2x — \frac{\pi}{4} \right)}{2} \cdot \cos \frac{3x + \left( 2x — \frac{\pi}{4} \right)}{2} = 0;$$ $$\sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{8} \right) \cdot \cos \left( \frac{5x}{2} — \frac{\pi}{8} \right) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{8} \right) = 0;$$ $$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8} = \pi n;$$ $$x = 2 \left( -\frac{\pi}{8} + \pi n \right) = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$

Второе уравнение:

$$\cos \left( \frac{5x}{2} — \frac{\pi}{8} \right) = 0;$$ $$\frac{5x}{2} — \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{2}{5} \left( \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{5};$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \quad \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{5}.$$

б)

$$\sqrt{3} \sin x — \cos x = 2 \cos 3x;$$ $$-\sqrt{3+1} \cos \left( x + \arccos \frac{1}{\sqrt{3+1}} \right) = 2 \cos 3x;$$ $$-2 \cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) = 2 \cos 3x;$$ $$\cos 3x + \cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) = 0;$$ $$2 \cos \frac{3x + \left( x + \frac{\pi}{3} \right)}{2} \cdot \cos \frac{3x — \left( x + \frac{\pi}{3} \right)}{2} = 0;$$ $$\cos \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) \cdot \cos \left( x — \frac{\pi}{6} \right) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) = 0;$$ $$2x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{6} + \pi n \right) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2};$$

Второе уравнение:

$$\cos \left( x — \frac{\pi}{6} \right) = 0;$$ $$x — \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} + \pi n = \frac{2\pi}{3} + \pi n;$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}; \quad \frac{2\pi}{3} + \pi n.$$

в)

$$\sin 5x + \cos 5x = \sqrt{2} \cos x;$$ $$\sqrt{1+1} \cos \left( 5x — \arccos \frac{1}{\sqrt{1+1}} \right) = \sqrt{2} \cos x;$$ $$\sqrt{2} \cos \left( 5x — \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \cos x;$$ $$\cos \left( 5x — \frac{\pi}{4} \right) — \cos x = 0;$$ $$-2 \sin \frac{\left( 5x — \frac{\pi}{4} \right) + x}{2} \cdot \sin \frac{\left( 5x — \frac{\pi}{4} \right) — x}{2} = 0;$$ $$\sin \left( 3x — \frac{\pi}{8} \right) \cdot \sin \left( 2x — \frac{\pi}{8} \right) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin \left( 3x — \frac{\pi}{8} \right) = 0;$$ $$3x — \frac{\pi}{8} = \pi n;$$ $$x = \frac{1}{3} \left( \frac{\pi}{8} + \pi n \right) = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{3};$$

Второе уравнение:

$$\sin \left( 2x — \frac{\pi}{8} \right) = 0;$$ $$2x — \frac{\pi}{8} = \pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{8} + \pi n \right) = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2};$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{3}; \quad \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}.$$

г)

$$\sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x = 2 \sin 4x;$$ $$\sqrt{1+3} \sin \left( 2x + \arccos \frac{1}{\sqrt{1+3}} \right) = 2 \sin 4x;$$ $$2 \sin \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) = 2 \sin 4x;$$ $$\sin 4x — \sin \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) = 0;$$ $$2 \sin \frac{4x — \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right)}{2} \cdot \cos \frac{4x + \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right)}{2} = 0;$$ $$\sin \left( x — \frac{\pi}{6} \right) \cdot \cos \left( 3x + \frac{\pi}{6} \right) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin \left( x — \frac{\pi}{6} \right) = 0;$$ $$x — \frac{\pi}{6} = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\cos \left( 3x + \frac{\pi}{6} \right) = 0;$$ $$3x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{3} \left( \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{6} + \pi n \right) = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3};$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{6} + \pi n; \quad \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}.$$

а)

Уравнение:

$$\sin 2x — \cos 2x = \sqrt{2} \sin 3x$$

Шаг 1: Левая часть — сведение к одной функции

Мы преобразуем $\sin 2x — \cos 2x$ с помощью тригонометрического тождества:

$$a \sin \theta + b \cos \theta = R \sin(\theta + \alpha)$$

где $R = \sqrt{a^2 + b^2}$, $\alpha = \arcsin \frac{b}{R}$ или $\arccos \frac{a}{R}$, в зависимости от вида.

В нашем случае:

• $\sin 2x — \cos 2x = \sqrt{2} \sin\left( 2x — \frac{\pi}{4} \right)$, поскольку:

  $$\sqrt{2}\sin (2x-\frac{\pi }{4})=\sin 2x\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}-\cos 2x\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=$$

$$\sqrt{2} \sin\left( 2x — \frac{\pi}{4} \right) = \sin 2x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} — \cos 2x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sin 2x — \cos 2x}{\sqrt{2}} \Rightarrow \text{домножаем на } \sqrt{2}$$

Шаг 2: Подстановка

$$\sqrt{2} \sin\left( 2x — \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \sin 3x$$

Убираем $\sqrt{2}$ с обеих сторон:

$$\sin\left( 2x — \frac{\pi}{4} \right) = \sin 3x$$

Шаг 3: Применим формулу разности синусов

$$\sin A — \sin B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Применим к:

$$\sin 3x — \sin\left( 2x — \frac{\pi}{4} \right) = 0$$ $$2 \cos\left( \frac{3x + 2x — \frac{\pi}{4}}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{3x — (2x — \frac{\pi}{4})}{2} \right) = 0$$

Вычисляем:

• $$\frac{3x + 2x — \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{5x — \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{5x}{2} — \frac{\pi}{8}$$
• $$\frac{3x — (2x — \frac{\pi}{4})}{2} = \frac{x + \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{8}$$

Подставляем:

$$2 \cos\left( \frac{5x}{2} — \frac{\pi}{8} \right) \cdot \sin\left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{8} \right) = 0$$

Равенство нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

Частный случай 1:

$$\sin\left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{8} \right) = 0$$

Общее решение:

$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8} = \pi n \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

Частный случай 2:

$$\cos\left( \frac{5x}{2} — \frac{\pi}{8} \right) = 0$$

Общее решение:

$$\frac{5x}{2}-\frac{\pi }{8}=\frac{\pi }{2}+\pi n\Rightarrow \frac{5x}{2}=\frac{5\pi }{8}+\pi n\Rightarrow$$

$$\frac{5x}{2} — \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{2} + \pi n \quad \Rightarrow \quad \frac{5x}{2} = \frac{5\pi}{8} + \pi n \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2}{5} \left( \frac{5\pi}{8} + \pi n \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{5}$$

Ответ к пункту а):

$$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \quad x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{5}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

б)

Уравнение:

$$\sqrt{3} \sin x — \cos x = 2 \cos 3x$$

Шаг 1: Сведение левой части

$$\sqrt{3} \sin x — \cos x = -\sqrt{3+1} \cos\left( x + \arccos \frac{1}{\sqrt{4}} \right) = -2 \cos\left( x + \frac{\pi}{3} \right)$$

Тогда:

$$-2 \cos\left( x + \frac{\pi}{3} \right) = 2 \cos 3x \Rightarrow \cos 3x + \cos\left( x + \frac{\pi}{3} \right) = 0$$

Шаг 2: Сумма косинусов

$$\cos A + \cos B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Пусть:

• $A = 3x$
• $B = x + \frac{\pi}{3}$

Итак:

$$2 \cos\left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) \cdot \cos\left( x — \frac{\pi}{6} \right) = 0$$

Частный случай 1:

$$\cos\left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) = 0 \Rightarrow 2x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$$

Частный случай 2:

$$\cos\left( x — \frac{\pi}{6} \right) = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} + \pi n = \frac{2\pi}{3} + \pi n$$

Ответ к пункту б):

$$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}; \quad x = \frac{2\pi}{3} + \pi n$$

в)

Уравнение:

$$\sin 5x + \cos 5x = \sqrt{2} \cos x$$

Шаг 1: Сведение суммы

$$\sin 5x + \cos 5x = \sqrt{2} \cos\left( 5x — \frac{\pi}{4} \right)$$

Подставим:

$$\sqrt{2} \cos\left( 5x — \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \cos x \Rightarrow \cos\left( 5x — \frac{\pi}{4} \right) — \cos x = 0$$

Шаг 2: Разность косинусов

$$\cos A — \cos B = -2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Пусть:

• $A = 5x — \frac{\pi}{4}$
• $B = x$

Тогда:

$$-2 \sin\left( 3x — \frac{\pi}{8} \right) \cdot \sin\left( 2x — \frac{\pi}{8} \right) = 0 \Rightarrow \sin\left( 3x — \frac{\pi}{8} \right) \cdot \sin\left( 2x — \frac{\pi}{8} \right) = 0$$

Частный случай 1:

$$3x — \frac{\pi}{8} = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{3}$$

Частный случай 2:

$$2x — \frac{\pi}{8} = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ к пункту в):

$$x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{3}; \quad x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}$$

г)

Уравнение:

$$\sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x = 2 \sin 4x$$

Шаг 1: Сведение левой части

$$\sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x = 2 \sin\left( 2x + \frac{\pi}{3} \right)$$

Тогда:

$$2 \sin\left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) = 2 \sin 4x \Rightarrow \sin 4x — \sin\left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) = 0$$

Шаг 2: Разность синусов

$$\sin A — \sin B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Пусть:

• $A = 4x$, $B = 2x + \frac{\pi}{3}$

Имеем:

$$2 \cos\left( 3x + \frac{\pi}{6} \right) \cdot \sin\left( x — \frac{\pi}{6} \right) = 0$$

Частный случай 1:

$$\sin\left( x — \frac{\pi}{6} \right) = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Частный случай 2:

$$\cos\left( 3x + \frac{\pi}{6} \right) = 0 \Rightarrow 3x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}$$

Ответ к пункту г):

$$x = \frac{\pi}{6} + \pi n; \quad x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}$$