ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 30.19 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $2 \sin 17x + \sqrt{3} \cos 5x + \sin 5x = 0$;

б) $5 \sin x — 12 \cos x + 13 \sin 3x = 0$

а) $2 \sin 17x + \sqrt{3} \cos 5x + \sin 5x = 0$;

$2 \sin 17x + \sqrt{1+3} \sin \left( 5x + \arccos \frac{1}{\sqrt{1+3}} \right) = 0$;

$2 \sin 17x + 2 \sin \left( 5x + \frac{\pi}{3} \right) = 0$;

$2 \cdot 2 \sin \frac{17x + \left( 5x + \frac{\pi}{3} \right)}{2} \cdot \cos \frac{17x — \left( 5x + \frac{\pi}{3} \right)}{2} = 0$;

$\sin \left( 11x + \frac{\pi}{6} \right) \cdot \cos \left( 6x — \frac{\pi}{6} \right) = 0$;

Первое уравнение:

$\sin \left( 11x + \frac{\pi}{6} \right) = 0$;

$11x + \frac{\pi}{6} = \pi n$;

$x = \frac{1}{11} \cdot \left( -\frac{\pi}{6} + \pi n \right) = -\frac{\pi}{66} + \frac{\pi n}{11}$;

Второе уравнение:

$\cos \left( 6x — \frac{\pi}{6} \right) = 0$;

$6x — \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

$x = \frac{1}{6} \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{6}$;

Ответ: $-\frac{\pi}{66} + \frac{\pi n}{11}; \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{6}$.

б) $5 \sin x — 12 \cos x + 13 \sin 3x = 0$;

$\sqrt{25 + 144} \sin \left( x — \arccos \frac{5}{\sqrt{25 + 144}} \right) + 13 \sin 3x = 0$;

$13 \sin \left( x — \arccos \frac{5}{13} \right) + 13 \sin 3x = 0$;

$13 \cdot 2 \sin \frac{\left( (x — \arccos \frac{5}{13}) + 3x \right)}{2} \cdot \cos \frac{\left( 3x — (x — \arccos \frac{5}{13}) \right)}{2} = 0$;

$\sin \left( 2x — \frac{1}{2} \arccos \frac{5}{13} \right) \cdot \cos \left( x + \frac{1}{2} \arccos \frac{5}{13} \right) = 0$;

Первое уравнение:

$\sin \left( 2x — \frac{1}{2} \arccos \frac{5}{13} \right) = 0$;

$2x — \frac{1}{2} \arccos \frac{5}{13} = \pi n$;

$x = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \arccos \frac{5}{13} + \pi n \right) = \frac{1}{4} \arccos \frac{5}{13} + \frac{\pi n}{2}$;

Второе уравнение:

$\cos \left( x + \frac{1}{2} \arccos \frac{5}{13} \right) = 0$;

$x + \frac{1}{2} \arccos \frac{5}{13} = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

$x = \frac{\pi}{2} — \frac{1}{2} \arccos \frac{5}{13} + \pi n$;

Ответ: $\frac{1}{4} \arccos \frac{5}{13} + \frac{\pi n}{2}; \frac{\pi}{2} — \frac{1}{2} \arccos \frac{5}{13} + \pi n$.

а) Уравнение:

$$2 \sin 17x + \sqrt{3} \cos 5x + \sin 5x = 0$$

Шаг 1. Объединение двух слагаемых:

$$\sqrt{3} \cos 5x + \sin 5x$$

Мы приведём это выражение к виду:

$$R \sin(5x + \varphi)$$

где:

• $R = \sqrt{a^2 + b^2}$
• $\varphi = \arccos \frac{a}{R}$, если мы представляем через синус.

Подставим:

• $a = \sin 5x \Rightarrow \text{коэффициент } = 1$
• $b = \cos 5x \Rightarrow \text{коэффициент } = \sqrt{3}$

Значит:

$$\sqrt{3} \cos 5x + \sin 5x = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} \cdot \sin\left(5x + \arccos \left( \frac{1}{\sqrt{1 + 3}} \right) \right)$$

Пояснение:

$$R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$$ $$\cos \varphi = \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi = \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$$

Итак:

$$\sqrt{3} \cos 5x + \sin 5x = 2 \sin\left(5x + \frac{\pi}{3}\right)$$

Теперь уравнение:

$$2 \sin 17x + 2 \sin\left(5x + \frac{\pi}{3}\right) = 0$$

Шаг 2. Вынесем общий множитель:

$$2 \left( \sin 17x + \sin\left(5x + \frac{\pi}{3} \right) \right) = 0$$

Шаг 3. Применим формулу суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Пусть:

• $A = 17x$
• $B = 5x + \frac{\pi}{3}$

Тогда:

$$\frac{A + B}{2} = \frac{17x + 5x + \frac{\pi}{3}}{2} = \frac{22x + \frac{\pi}{3}}{2} = 11x + \frac{\pi}{6}$$ $$\frac{A — B}{2} = \frac{17x — (5x + \frac{\pi}{3})}{2} = \frac{12x — \frac{\pi}{3}}{2} = 6x — \frac{\pi}{6}$$

Подставим:

$$2 \cdot 2 \cdot \sin\left(11x + \frac{\pi}{6} \right) \cdot \cos\left(6x — \frac{\pi}{6} \right) = 0$$

Сокращаем множитель:

$$\sin\left(11x + \frac{\pi}{6} \right) \cdot \cos\left(6x — \frac{\pi}{6} \right) = 0$$

Уравнение обращается в ноль, если хотя бы один множитель равен нулю.

Рассмотрим первый случай:

$$\sin\left(11x + \frac{\pi}{6} \right) = 0$$

Общий вид:

$$\sin \theta = 0 \Rightarrow \theta = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Значит:

$$11x + \frac{\pi}{6} = \pi n \Rightarrow 11x = \pi n — \frac{\pi}{6} = \pi\left(n — \frac{1}{6}\right)$$ $$x = \frac{1}{11} \cdot \pi\left(n — \frac{1}{6} \right) = \frac{\pi n}{11} — \frac{\pi}{66}$$

Первое решение:

$$x = -\frac{\pi}{66} + \frac{\pi n}{11}$$

Рассмотрим второй случай:

$$\cos\left(6x — \frac{\pi}{6} \right) = 0$$

Общий вид:

$$\cos \theta = 0 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Значит:

$$6x — \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow 6x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + \pi n = \frac{2\pi}{3} + \pi n$$ $$x = \frac{1}{6} \left( \frac{2\pi}{3} + \pi n \right) = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{6}$$

Второе решение:

$$x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{6}$$

Окончательный ответ (а):

$$\boxed{ x = -\frac{\pi}{66} + \frac{\pi n}{11}; \quad x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{6} }$$

б) Уравнение:

$$5 \sin x — 12 \cos x + 13 \sin 3x = 0$$

Шаг 1. Преобразуем первые два слагаемых:

$$5 \sin x — 12 \cos x = R \sin(x + \varphi)$$

Где:

• $R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{25 + 144} = 13$
• $\cos \varphi = \frac{a}{R} = \frac{5}{13} \Rightarrow \varphi = \arccos \frac{5}{13}$

Заметим: $-12 \cos x \Rightarrow b = -12$, т.е. здесь отрицательное значение учитывается в угле.

Значит:

$$5 \sin x — 12 \cos x = 13 \sin\left(x — \arccos \frac{5}{13} \right)$$

Уравнение:

$$13 \sin\left(x — \arccos \frac{5}{13} \right) + 13 \sin 3x = 0$$

Разделим обе части на 13:

$$\sin\left(x — \arccos \frac{5}{13} \right) + \sin 3x = 0$$

Шаг 2. Применим формулу суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Пусть:

• $A = x — \arccos \frac{5}{13}$
• $B = 3x$

Сложим:

$$\frac{A + B}{2} = \frac{(x — \arccos \frac{5}{13}) + 3x}{2} = \frac{4x — \arccos \frac{5}{13}}{2} = 2x — \frac{1}{2} \arccos \frac{5}{13}$$

Разность:

$$\frac{B — A}{2} = \frac{3x — (x — \arccos \frac{5}{13})}{2} = \frac{2x + \arccos \frac{5}{13}}{2} = x + \frac{1}{2} \arccos \frac{5}{13}$$

Получаем:

$$2 \sin\left(2x — \frac{1}{2} \arccos \frac{5}{13} \right) \cdot \cos\left( x + \frac{1}{2} \arccos \frac{5}{13} \right) = 0$$

Рассмотрим первый множитель:

$$\sin\left(2x — \frac{1}{2} \arccos \frac{5}{13} \right) = 0 \Rightarrow 2x — \frac{1}{2} \arccos \frac{5}{13} = \pi n$$ $$x = \frac{1}{2} \left( \pi n + \frac{1}{2} \arccos \frac{5}{13} \right) = \frac{\pi n}{2} + \frac{1}{4} \arccos \frac{5}{13}$$

Первое решение:

$$x = \frac{1}{4} \arccos \frac{5}{13} + \frac{\pi n}{2}$$

Рассмотрим второй множитель:

$$\cos\left(x + \frac{1}{2} \arccos \frac{5}{13} \right) = 0 \Rightarrow x + \frac{1}{2} \arccos \frac{5}{13} = \frac{\pi}{2} + \pi n$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n — \frac{1}{2} \arccos \frac{5}{13}$$

Второе решение:

$$x = \frac{\pi}{2} — \frac{1}{2} \arccos \frac{5}{13} + \pi n$$

Окончательный ответ (б):

$$\boxed{ x = \frac{1}{4} \arccos \frac{5}{13} + \frac{\pi n}{2}; \quad x = \frac{\pi}{2} — \frac{1}{2} \arccos \frac{5}{13} + \pi n }$$