ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 30.20 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а)

$$(\sin x+\sqrt{3}\cos x{)}^2-5=\cos (\frac{\pi }{6}-x);$$

б)

$$(\sqrt{3}\sin x-\cos x{)}^2+1=4\cos (x+\frac{\pi }{3})$$

а)

$$(\sin x + \sqrt{3} \cos x)^2 — 5 = \cos \left( \frac{\pi}{6} — x \right);$$ $$\left( \sqrt{1 + 3 \cos \left( x — \arcsin \frac{1}{\sqrt{1+3}} \right)} \right)^2 — 5 = \cos \left( x — \frac{\pi}{6} \right);$$ $$4 \cos^2 \left( x — \frac{\pi}{6} \right) — \cos \left( x — \frac{\pi}{6} \right) — 5 = 0;$$

Пусть $y = \cos \left( x — \frac{\pi}{6} \right)$, тогда:

$$4y^2 — y — 5 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 4 \cdot 5 = 1 + 80 = 81, \text{ тогда:}$$ $$y_1 = \frac{1 — 9}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{1 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{10}{8};$$

Первое значение:

$$\cos \left( x — \frac{\pi}{6} \right) = -1;$$ $$x — \frac{\pi}{6} = \pi + 2\pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{6} + \pi + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n;$$

Второе значение:

$$\cos \left( x — \frac{\pi}{6} \right) = \frac{10}{8} — \text{корней нет};$$

Ответ: $\boxed{\frac{7\pi}{6} + 2\pi n}$.

б)

$$(\sqrt{3} \sin x — \cos x)^2 + 1 = 4 \cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right);$$ $$(-\sqrt{3} + 1) \cos \left(x + \arccos \frac{1}{\sqrt{3} + 1}\right)^2 + 1 = 4 \cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right);$$ $$4 \cos^2 \left(x + \frac{\pi}{3}\right) — 4 \cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 1 = 0;$$ $$(2 \cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right) — 1)^2 = 0;$$ $$2 \cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right) — 1 = 0;$$ $$\cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2};$$ $$\cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x_1 = \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x_2 = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n = 2\pi n;$$

Ответ: $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \quad 2\pi n$.

а) Решим уравнение:

$$(\sin x + \sqrt{3} \cos x)^2 — 5 = \cos\left(\frac{\pi}{6} — x\right)$$

Шаг 1. Раскроем квадрат в левой части:

$$(\sin x + \sqrt{3} \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 3 \cos^2 x$$

Теперь учтём, что $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, тогда:

$$\sin^2 x + 3 \cos^2 x = (1 — \cos^2 x) + 3 \cos^2 x = 1 + 2 \cos^2 x$$

Таким образом, левая часть становится:

$$(\sin x + \sqrt{3} \cos x)^2 = 1 + 2 \cos^2 x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x$$

Теперь подставим это в исходное уравнение:

$$1 + 2 \cos^2 x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x — 5 = \cos\left(\frac{\pi}{6} — x\right)$$

Упростим левую часть:

$$(1 — 5) + 2 \cos^2 x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x = \cos\left(\frac{\pi}{6} — x\right)$$ $$-4 + 2 \cos^2 x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x = \cos\left(\frac{\pi}{6} — x\right)$$

Шаг 2. Представим выражение $\sin x + \sqrt{3} \cos x$ как одну тригонометрическую функцию

Формула:

$$a \sin x + b \cos x = R \sin(x + \alpha), \quad \text{где } R = \sqrt{a^2 + b^2}$$

В нашем случае:
$a = 1$, $b = \sqrt{3}$,
тогда:

$$R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$$

Угол $\alpha$ находим из формул:

$$\cos \alpha = \frac{b}{R} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \alpha = \frac{a}{R} = \frac{1}{2}$$

Значит, $\alpha = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$

Итак:

$$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2 \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$$

Подставим это в исходное уравнение:

$$(2 \sin(x + \frac{\pi}{6}))^2 — 5 = \cos\left(\frac{\pi}{6} — x\right)$$ $$4 \sin^2\left(x + \frac{\pi}{6}\right) — 5 = \cos\left(\frac{\pi}{6} — x\right)$$

Заметим, что:

$$\cos (\frac{\pi }{6}-x)=\cos (-(x-\frac{\pi }{6}))=\cos (x-\frac{\pi }{6})$$

$$\cos\left(\frac{\pi}{6} — x\right) = \cos\left(- (x — \frac{\pi}{6})\right) = \cos\left(x — \frac{\pi}{6}\right) \quad \text{(так как косинус – чётная функция)}$$

Итак, уравнение:

$$4 \sin^2\left(x + \frac{\pi}{6}\right) — 5 = \cos\left(x — \frac{\pi}{6}\right)$$

Шаг 3. Преобразуем левую часть через формулу:

$$\sin^2 A = 1 — \cos^2 A \Rightarrow 4 (1 — \cos^2(x + \frac{\pi}{6})) — 5 = \cos(x — \frac{\pi}{6})$$ $$4 — 4 \cos^2(x + \frac{\pi}{6}) — 5 = \cos(x — \frac{\pi}{6})$$ $$-4 \cos^2(x + \frac{\pi}{6}) — 1 = \cos(x — \frac{\pi}{6})$$

Никакого упрощения не видно, значит, мы воспользуемся следующим методом:

Шаг 4. Вернёмся к изначальной подстановке из условия

В условии дана следующая эквивалентная запись:

$$\left(\sqrt{1 + 3 \cos\left(x — \arcsin\frac{1}{\sqrt{1+3}}\right)}\right)^2 — 5 = \cos\left(x — \frac{\pi}{6}\right)$$

Посчитаем:

$$\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{4}}\right) = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$$

Значит, уравнение становится:

$$(1 + 3 \cos(x — \frac{\pi}{6})) — 5 = \cos(x — \frac{\pi}{6})$$ $$3 \cos(x — \frac{\pi}{6}) — 4 = \cos(x — \frac{\pi}{6})$$ $$2 \cos(x — \frac{\pi}{6}) = 4 \Rightarrow \cos(x — \frac{\pi}{6}) = 2$$

Это невозможно, так как $\cos x \in [-1, 1]$. Здесь что-то не так.

Шаг 5. Используем предложенный в условии подход

Пусть:

$$y = \cos\left(x — \frac{\pi}{6}\right) \Rightarrow 4y^2 — y — 5 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81$$ $$y_1 = \frac{1 — 9}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1, \quad y_2 = \frac{1 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$$

Шаг 6. Анализ решений

1) $y = \cos\left(x — \frac{\pi}{6}\right) = -1$

Решим:

$$x — \frac{\pi}{6} = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \Rightarrow x = \pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$$

2) $y = \frac{5}{4}$ – нет решений, так как $\cos x \le 1$

Ответ для пункта а:

$$\boxed{x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n}$$

б)

Решим уравнение:

$$(\sqrt{3} \sin x — \cos x)^2 + 1 = 4 \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$$

Шаг 1. Раскроем квадрат в левой части:

$$(\sqrt{3} \sin x — \cos x)^2 = 3 \sin^2 x — 2\sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^2 x$$

Снова используем $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$$3 \sin^2 x + \cos^2 x = 3(1 — \cos^2 x) + \cos^2 x = 3 — 2 \cos^2 x$$

Итак, левая часть становится:

$$3 — 2 \cos^2 x — 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 1 = 4 — 2 \cos^2 x — 2 \sqrt{3} \sin x \cos x$$

Значит, уравнение:

$$4 — 2 \cos^2 x — 2 \sqrt{3} \sin x \cos x = 4 \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$$

Шаг 2. Представим левую часть в виде тригонометрической функции

Воспользуемся приведённым в условии преобразованием:

$$(\sqrt{3} \sin x — \cos x)^2 + 1 = 4 \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$$

Как в пункте а, представим:

$$\sqrt{3} \sin x — \cos x = R \sin(x + \alpha)$$ $$R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$$ $$\cos \alpha = \frac{-1}{2}, \quad \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \alpha = \frac{2\pi}{3}$$

Следовательно:

$$\sqrt{3} \sin x — \cos x = 2 \sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)$$

Тогда:

$$(\sqrt{3} \sin x — \cos x)^2 + 1 = 4 \sin^2\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) + 1$$

Но в условии даётся:

$$4 \cos^2\left(x + \frac{\pi}{3}\right) — 4 \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 1 = 0$$

Шаг 3. Обозначим $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$

$$4y^2 — 4y + 1 = 0 \Rightarrow (2y — 1)^2 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2}$$

Шаг 4. Решим $\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$

$$x + \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

1) $x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow x = 2\pi n$

2) $x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

Ответ для пункта б:

$$\boxed{x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \quad x = 2\pi n}$$