ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 30.25 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что при любых значениях х выполняется неравенство:

а) $3 \sin x + 5 \cos x < \sqrt[3]{210}$;

б) $\sqrt{3} \sin x — 7 \cos x > -\sqrt[3]{390}$

Доказать, что при любых значениях $x$ выполняется неравенство:

а) $3 \sin x + 5 \cos x < \sqrt[3]{210}$;

$\sqrt{9 + 25} \sin(x + t) < \sqrt[3]{210}$;

$\sqrt{34} \sin(x + t) < \sqrt[3]{210}$;

$\sqrt{34} \sin(x + t) \leq \sqrt{34}$;

Неравенство верно при любом $x$, если:

$\sqrt{34} \leq \sqrt[3]{210}$;

$\sqrt{34} < \sqrt{35} \leq \sqrt[3]{210}$;

$35^3 \leq 210^2$;

$35 \cdot 35 \cdot 35 \leq 210 \cdot 210$;

$35 \cdot 1 \cdot 1 \leq 6 \cdot 6$;

$35 \leq 36$;

Что и требовалось доказать.

б) $\sqrt{3} \sin x — 7 \cos x > -\sqrt[3]{390}$;

$\sqrt{3 + 49} \sin(x — t) > -\sqrt[3]{390}$;

$-\sqrt{52} \sin(x — t) < \sqrt[3]{390}$;

$-\sqrt{52} \sin(x — t) \leq \sqrt{52}$;

Неравенство верно при любом $x$, если:

$\sqrt{52} \leq \sqrt[3]{390}$;

$52^3 \leq 390^2$;

$52 \cdot 52 \cdot 52 \geq 390 \cdot 390$;

$52 \cdot 2 \cdot 2 \leq 15 \cdot 15$;

$208 \leq 225$;

Что и требовалось доказать.

а) Доказать, что при любом $x$ выполняется неравенство:

$$3 \sin x + 5 \cos x < \sqrt[3]{210}$$

Шаг 1: Преобразуем выражение $3\sin x + 5\cos x$ в синус суммы

Это делается с помощью тригонометрической формулы приведения:

$$a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sin(x + \varphi),$$

где:

$$\varphi = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) = \arctan\left(\frac{5}{3}\right)$$

В нашем случае:

$$3\sin x+5\cos x=\sqrt{3^2+5^2}\cdot \sin (x+\phi )=\sqrt{9+25}\cdot \sin (x+\phi )=$$

$$3\sin x + 5\cos x = \sqrt{3^2 + 5^2} \cdot \sin(x + \varphi) = \sqrt{9 + 25} \cdot \sin(x + \varphi) = \sqrt{34} \cdot \sin(x + \varphi)$$

Шаг 2: Оценим максимум выражения

Так как $\sin(x + \varphi) \in [-1, 1]$, то:

$$\sqrt{34} \cdot \sin(x + \varphi) \in [-\sqrt{34}, \sqrt{34}]$$

Следовательно:

$$3 \sin x + 5 \cos x \leq \sqrt{34}$$

Шаг 3: Сравним $\sqrt{34}$ и $\sqrt[3]{210}$

Посчитаем примерные значения:

• $\sqrt{34} \approx 5.831$
• $\sqrt[3]{210} \approx 5.943$

Так как:

$$\sqrt{34} < \sqrt[3]{210}$$

то:

$$3\sin x + 5\cos x \leq \sqrt{34} < \sqrt[3]{210}$$

Таким образом, неравенство

$$3\sin x + 5\cos x < \sqrt[3]{210}$$

выполняется при любом $x$.

Дополнительное числовое обоснование (по шагам)

Докажем:

$$\sqrt{34} < \sqrt[3]{210}$$

Вместо вычислений с иррациональными числами, сравним их кубы:

Пусть:

$$\sqrt[3]{210} > \sqrt{34} \iff 210 > (\sqrt{34})^3$$

Посчитаем:

$$(\sqrt{34})^3 = \sqrt{34} \cdot 34 \approx 5.831 \cdot 34 \approx 198.25 < 210$$

Значит:

$$\sqrt{34} < \sqrt[3]{210}$$

Вывод по пункту а):

Нижняя и верхняя границы выражения $3\sin x + 5\cos x$ не выходят за пределы $(-\sqrt[3]{210}, \sqrt[3]{210})$, так как максимум выражения равен $\sqrt{34}$, который меньше $\sqrt[3]{210}$. Следовательно, неравенство выполняется при любом $x$.

б) Доказать, что при любом $x$ выполняется неравенство:

$$\sqrt{3} \sin x — 7 \cos x > -\sqrt[3]{390}$$

Шаг 1: Аналогично, сведём к синусу суммы

Выражение $\sqrt{3} \sin x — 7 \cos x$ можно представить в виде:

$$\sqrt{3} \sin x — 7 \cos x = R \cdot \sin(x + \varphi)$$

Найдём модуль этого выражения:

$$R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-7)^2} = \sqrt{3 + 49} = \sqrt{52}$$

Тогда:

$$\sqrt{3} \sin x — 7 \cos x = \sqrt{52} \cdot \sin(x + \varphi’)$$

где $\varphi’$ — соответствующий угол (его значение не важно, так как нам важна только амплитуда).

Шаг 2: Минимум выражения

$$\sin(x + \varphi’) \in [-1, 1] \Rightarrow \sqrt{52} \cdot \sin(x + \varphi’) \in [-\sqrt{52}, \sqrt{52}]$$

Следовательно:

$$\sqrt{3} \sin x — 7 \cos x \geq -\sqrt{52}$$

Шаг 3: Сравним $-\sqrt{52}$ и $-\sqrt[3]{390}$

Покажем, что:

$$-\sqrt{52} > -\sqrt[3]{390} \iff \sqrt{52} < \sqrt[3]{390}$$

Приблизительные значения:

• $\sqrt{52} \approx 7.211$
• $\sqrt[3]{390} \approx 7.33$

Значит:

$$\sqrt{52} < \sqrt[3]{390}$$

Следовательно:

$$-\sqrt{52} > -\sqrt[3]{390}$$

Итог по пункту б):

$$\sqrt{3} \sin x — 7 \cos x \geq -\sqrt{52} > -\sqrt[3]{390}$$

А значит, неравенство:

$$\sqrt{3} \sin x — 7 \cos x > -\sqrt[3]{390}$$

выполняется при любом $x$.

Окончательный вывод:

а): $3 \sin x + 5 \cos x < \sqrt[3]{210}$ — всегда верно.

б): $\sqrt{3} \sin x — 7 \cos x > -\sqrt[3]{390}$ — всегда верно.$$