ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 30.27 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Сколько целых чисел содержится в области значений функции

$$y=(\sin x+\sqrt{3}\cos x{)}^2+\sin (x+\frac{\pi }{3})+3$$

Сколько целых чисел содержится в области значений функции

$$y = (\sin x + \sqrt{3} \cos x)^2 + \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) + 3;$$ $$y = \left( \sqrt{1+3} \sin \left( x + \arccos \frac{1}{\sqrt{1+3}} \right) \right)^2 + \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) + 3;$$ $$y = 4 \sin^2 \left( x + \arccos \frac{1}{2} \right) + \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) + 3;$$ $$y = 4 \sin^2 \left( x + \frac{\pi}{3} \right) + \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) + 3;$$

Пусть $t = \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right)$, тогда:

$$y = 4t^2 + t + 3, \quad \text{где } t \in [-1; 1];$$

Абсцисса вершины параболы:

$$t_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot 4} = -\frac{1}{8};$$

Значения функции:

$$y(-1) = 4 \cdot (-1)^2 — 1 + 3 = 4 — 1 + 3 = 6;$$ $$y \left( -\frac{1}{8} \right) = 4 \cdot \left( -\frac{1}{8} \right)^2 — \frac{1}{8} + 3 = \frac{1}{16} — \frac{2}{16} + 3 = 2 \frac{15}{16};$$ $$y(1) = 4 \cdot 1^2 + 1 + 3 = 4 + 1 + 3 = 8;$$

Множество значений функции:

$$2 \frac{15}{16} \leq y \leq 8;$$ $$3 \leq y \leq 8;$$

Ответ: 6 чисел.

Сколько целых чисел содержится в области значений функции:

$$y = (\sin x + \sqrt{3} \cos x)^2 + \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) + 3$$

Шаг 1. Упростим выражение

Перепишем выражение:

$$y = (\sin x + \sqrt{3} \cos x)^2 + \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) + 3$$

Сначала преобразуем квадратную скобку — это выражение вида $a \sin x + b \cos x$, которое можно привести к виду:

$$a \sin x + b \cos x = R \sin(x + \alpha)$$

Где:

• $R = \sqrt{a^2 + b^2}$
• $\cos \alpha = \frac{a}{R}$, $\sin \alpha = \frac{b}{R}$

В нашем случае:

• $a = 1$
• $b = \sqrt{3}$

Значит:

$$R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$$

Теперь находим угол $\alpha$:

$$\cos \alpha = \frac{1}{2}, \quad \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \alpha = \arccos\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{3}$$

Итак:

$$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$$

Тогда выражение примет вид:

$$y={[2\sin (x+\frac{\pi }{3})]}^2+\sin (x+\frac{\pi }{3})+3=$$

$$y = \left[2 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)\right]^2 + \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 3 = 4 \sin^2\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 3$$

Шаг 2. Вводим замену переменной

Обозначим:

$$t = \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$$

Так как синус любого выражения лежит в пределах от –1 до 1, то:

$$t \in [-1; 1]$$

Теперь наша функция примет вид:

$$y = 4t^2 + t + 3$$

Шаг 3. Найдём минимум и максимум на отрезке

Функция $y = 4t^2 + t + 3$ — это квадратичная функция, график которой — парабола, ветви вверх (так как старший коэффициент положителен: $a = 4 > 0$).

Для нахождения наименьшего и наибольшего значения на отрезке $[-1; 1]$, рассмотрим три точки:

• Границы отрезка: $t = -1$, $t = 1$
• Вершину параболы: $t_0 = -\frac{b}{2a}$

Находим вершину:

$$t_0 = -\frac{1}{2 \cdot 4} = -\frac{1}{8}$$

Это значение входит в отрезок $[-1; 1]$, значит, нужно найти значения функции в точках $t = -1$, $t = -\frac{1}{8}$, $t = 1$.

Шаг 4. Вычислим значения функции

В точке $t = -1$:

$$y(-1) = 4(-1)^2 + (-1) + 3 = 4 — 1 + 3 = 6$$

В точке $t = -\frac{1}{8}$:

$$y(-\frac{1}{8})=4{(-\frac{1}{8})}^2+(-\frac{1}{8})+3=4\cdot \frac{1}{64}-\frac{1}{8}+3=\frac{4}{64}-\frac{8}{64}+3=$$

$$y\left(-\frac{1}{8}\right) = 4\left(-\frac{1}{8}\right)^2 + \left(-\frac{1}{8}\right) + 3 = 4 \cdot \frac{1}{64} — \frac{1}{8} + 3 = \frac{4}{64} — \frac{8}{64} + 3 = -\frac{4}{64} + 3 = -\frac{1}{16} + 3 = 2\frac{15}{16}$$

В точке $t = 1$:

$$y(1) = 4(1)^2 + 1 + 3 = 4 + 1 + 3 = 8$$

Шаг 5. Определим множество значений функции

Функция $y = 4t^2 + t + 3$ на отрезке $t \in [-1; 1]$ принимает значения:

• Минимальное значение: $y = 2\frac{15}{16} = 2.9375$
• Максимальное значение: $y = 8$

Таким образом:

$$y \in \left[2\frac{15}{16}; 8\right] \approx [2.9375; 8]$$

Шаг 6. Сколько целых чисел в этом интервале?

Ищем все целые числа от 2.9375 до 8 включительно:

• Первое целое число $\ge 2.9375$ — это 3
• Последнее целое число $\le 8$ — это 8

Целые числа: $3, 4, 5, 6, 7, 8$

Их 6 штук.

Ответ: $\boxed{6}$