ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 30.3 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а) $\sin x + \cos x + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}\cos^2\left(\frac{x}{2} — \frac{\pi}{8}\right)$;

б) $\cos 2x — \sin 2x — \sqrt{2} = -2\sqrt{2}\sin^2\left(x + \frac{\pi}{8}\right)$

Доказать тождество:

а) $\sin x + \cos x + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}\cos^2\left(\frac{x}{2} — \frac{\pi}{8}\right)$;

$$\sqrt{1+1}\cos\left(x — \arccos\frac{1}{\sqrt{1+1}}\right) + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \cdot \frac{1+\cos 2\left(\frac{x}{2} — \frac{\pi}{8}\right)}{2}$$ $$\sqrt{2}\cos\left(x — \arccos\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \sqrt{2} = \sqrt{2}\left(1 + \cos\left(x — \frac{\pi}{4}\right)\right)$$ $$\sqrt{2}\left(\cos\left(x — \frac{\pi}{4}\right) + 1\right) = \sqrt{2}\left(1 + \cos\left(x — \frac{\pi}{4}\right)\right)$$

Тождество доказано.

б) $\cos 2x — \sin 2x — \sqrt{2} = -2\sqrt{2}\sin^2\left(x + \frac{\pi}{8}\right)$;

$$-\sqrt{2} — (\sin 2x — \cos 2x) = -2\sqrt{2} \cdot \frac{1 — \cos 2\left(x + \frac{\pi}{8}\right)}{2}$$ $$-\sqrt{2} — (-\sqrt{1+1})\cos\left(2x + \arcsin\frac{1}{\sqrt{1+1}}\right) = -\sqrt{2}\left(1 — \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)\right)$$ $$-\sqrt{2} + \sqrt{2}\cos\left(2x + \arcsin\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\sqrt{2}\left(1 — \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)\right)$$ $$-\sqrt{2}(1 — \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)) = -\sqrt{2}\left(1 — \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)\right)$$

Тождество доказано.

а) Доказать, что:

$$\sin x + \cos x + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \cos^2\left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{8} \right)$$

Шаг 1: Преобразуем левую часть (ЛЧ)

Рассмотрим сумму $\sin x + \cos x$. Известно, что:

$$\sin x + \cos x = \sqrt{2} \cdot \cos\left( x — \frac{\pi}{4} \right)$$

Доказательство:

Используем формулу приведения для суммы синуса и косинуса:

$$\sin x + \cos x = \sqrt{2} \cdot \cos\left(x — \frac{\pi}{4}\right), \quad \text{так как:}$$ $$\cos\alpha = \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{2}} \Rightarrow \alpha = x — \frac{\pi}{4}$$

Итак:

$$\sin x + \cos x + \sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot \cos\left(x — \frac{\pi}{4}\right) + \sqrt{2}$$ $$= \sqrt{2} \left( \cos\left(x — \frac{\pi}{4}\right) + 1 \right)$$

Шаг 2: Преобразуем правую часть (ПЧ)

$$2\sqrt{2} \cos^2\left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{8} \right)$$

Используем формулу понижения степени:

$$\cos^2 A = \frac{1 + \cos(2A)}{2}, \quad \text{где } A = \frac{x}{2} — \frac{\pi}{8}$$

Тогда:

$$2\sqrt{2} \cdot \cos^2\left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{8} \right) = 2\sqrt{2} \cdot \frac{1 + \cos\left(2\left(\frac{x}{2} — \frac{\pi}{8}\right)\right)}{2}$$ $$= 2\sqrt{2} \cdot \frac{1 + \cos\left(x — \frac{\pi}{4}\right)}{2}$$

Сократим множители:

$$= \sqrt{2} \left( 1 + \cos\left(x — \frac{\pi}{4} \right) \right)$$

Шаг 3: Сравниваем ЛЧ и ПЧ

Левая часть:

$$\sqrt{2} \left( \cos\left(x — \frac{\pi}{4}\right) + 1 \right)$$

Правая часть:

$$\sqrt{2} \left( 1 + \cos\left(x — \frac{\pi}{4}\right) \right)$$

Обе части равны.

Тождество доказано.

б) Доказать, что:

$$\cos 2x — \sin 2x — \sqrt{2} = -2\sqrt{2} \cdot \sin^2\left(x + \frac{\pi}{8}\right)$$

Шаг 1: Преобразуем левую часть

Перепишем:

$$\cos 2x — \sin 2x — \sqrt{2} = — (\sin 2x — \cos 2x) — \sqrt{2}$$

Заменим выражение в скобках на тригонометрическую форму.

Сначала заметим:

$$\sin 2x — \cos 2x = \sqrt{2} \cdot \sin\left(2x — \frac{\pi}{4}\right)$$

Но поскольку мы хотим получить выражение вида $\cos(\ldots)$, лучше использовать:

$$\cos 2x — \sin 2x = \sqrt{2} \cdot \cos\left(2x + \frac{\pi}{4} \right)$$

Доказательство:

Аналогично предыдущему пункту, представим сумму вида:

$$a \cos\theta + b \sin\theta = R \cos(\theta — \phi), \text{ где } R = \sqrt{a^2 + b^2}, \phi = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$$

В нашем случае:

$$\cos 2x — \sin 2x = \sqrt{2} \cdot \cos\left(2x + \frac{\pi}{4} \right)$$

Тогда:

$$\cos 2x — \sin 2x — \sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot \cos\left(2x + \frac{\pi}{4} \right) — \sqrt{2}$$ $$= \sqrt{2} \left( \cos\left(2x + \frac{\pi}{4} \right) — 1 \right)$$

Шаг 2: Преобразуем правую часть

$$-2\sqrt{2} \cdot \sin^2\left(x + \frac{\pi}{8} \right)$$

Используем формулу:

$$\sin^2 A = \frac{1 — \cos 2A}{2}, \text{ где } A = x + \frac{\pi}{8}$$ $$\Rightarrow -2\sqrt{2} \cdot \frac{1 — \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)}{2}$$

Сокращаем:

$$= -\sqrt{2} \left(1 — \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) \right)$$

Шаг 3: Сравниваем ЛЧ и ПЧ

Левая часть:

$$\sqrt{2} \left( \cos\left(2x + \frac{\pi}{4} \right) — 1 \right) = -\sqrt{2} \left(1 — \cos\left(2x + \frac{\pi}{4} \right) \right)$$

Правая часть:

$$-\sqrt{2} \left(1 — \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) \right)$$

Равны.

Тождество доказано.