ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 30.4 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Преобразуйте сумму в произведение:

а)

$$\sin t+\cos t+5\cos (t+\frac{\pi }{4})$$

б)

$$\sin t-\cos t+\sqrt{34}\cos (\frac{\pi }{4}-t)$$

Преобразовать сумму в произведение:

а)

$$\sin t + \cos t + 5 \cos \left(t + \frac{\pi}{4}\right) =$$ $$= \sqrt{1+1} \sin \left(t + \arcsin \frac{1}{\sqrt{1+1}}\right) + 5 \cos \left(t + \frac{\pi}{4}\right) =$$ $$= \sqrt{2} \sin \left(t + \frac{\pi}{4}\right) + 5 \cos \left(t + \frac{\pi}{4}\right) =$$ $$= \sqrt{2+25} \sin \left(\left(t + \frac{\pi}{4}\right) + \arcsin \frac{5}{\sqrt{2+25}}\right) = 3 \sqrt{3} \sin \left(t + \frac{\pi}{4} + \arcsin \frac{5 \sqrt{3}}{9}\right);$$

б)

$$\sin t — \cos t + \sqrt{34} \cos \left(\frac{\pi}{4} — t\right) =$$ $$= \sqrt{1+1} \sin \left(t — \arcsin \frac{1}{\sqrt{1+1}}\right) + \sqrt{34} \cos \left(t — \frac{\pi}{4}\right) =$$ $$= \sqrt{2} \sin \left(t — \frac{\pi}{4}\right) + \sqrt{34} \cos \left(t — \frac{\pi}{4}\right) =$$ $$= \sqrt{2+34} \sin \left(\left(t — \frac{\pi}{4}\right) + \arcsin \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{2+34}}\right) = 6 \sin \left(t — \frac{\pi}{4} + \arcsin \frac{\sqrt{34}}{6}\right);$$

а) Преобразовать:

$$\sin t + \cos t + 5 \cos\left(t + \frac{\pi}{4}\right)$$

Шаг 1: Преобразуем $\sin t + \cos t$

Здесь применим формулу:

$$\sin t + \cos t = \sqrt{2} \cdot \sin\left(t + \frac{\pi}{4}\right)$$

Почему так?

Используем основную формулу приведения суммы:

$$a \sin t + b \cos t = R \sin(t + \varphi)$$

где
$R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$,
$\varphi = \arcsin\left(\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\right) = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\pi}{4}$

Значит:

$$\sin t + \cos t = \sqrt{2} \sin\left(t + \frac{\pi}{4}\right)$$

Шаг 2: Подставим результат в исходное выражение

$$\sqrt{2} \sin\left(t + \frac{\pi}{4}\right) + 5 \cos\left(t + \frac{\pi}{4}\right)$$

Теперь у нас сумма синуса и косинуса с одинаковым аргументом:

$$A \sin\theta + B \cos\theta$$

Шаг 3: Преобразуем в одну синусоидальную функцию

Пусть:

$$\sqrt{2} \sin\left(t + \frac{\pi}{4}\right) + 5 \cos\left(t + \frac{\pi}{4}\right) = R \sin\left(t + \frac{\pi}{4} + \alpha\right)$$

Ищем:

$$R = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 5^2} = \sqrt{2 + 25} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$$ $$\sin \alpha = \frac{5}{\sqrt{27}} = \frac{5}{3\sqrt{3}}, \quad \text{но приведем к рациональному виду:}$$ $$\sin \alpha = \frac{5 \sqrt{3}}{9} \Rightarrow \alpha = \arcsin \frac{5 \sqrt{3}}{9}$$

Значит:

$$\sin t + \cos t + 5 \cos\left(t + \frac{\pi}{4}\right) = 3\sqrt{3} \cdot \sin\left(t + \frac{\pi}{4} + \arcsin \frac{5 \sqrt{3}}{9}\right)$$

Ответ:

$$3\sqrt{3} \sin\left(t + \frac{\pi}{4} + \arcsin \frac{5\sqrt{3}}{9}\right)$$

б) Преобразовать:

$$\sin t — \cos t + \sqrt{34} \cos\left(\frac{\pi}{4} — t\right)$$

Шаг 1: Преобразуем $\sin t — \cos t$

Приводим к виду:

$$\sin t — \cos t = \sqrt{2} \sin\left(t — \frac{\pi}{4}\right)$$

Почему?

Снова используем:

$$a \sin t + b \cos t = R \sin(t + \varphi)$$

Здесь:

• $a = 1$, $b = -1$,
• $R = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$,
• $\varphi = \arcsin\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{\pi}{4}$

Значит:

$$\sin t — \cos t = \sqrt{2} \sin\left(t — \frac{\pi}{4}\right)$$

Шаг 2: Упростим второй член

$$\cos\left(\frac{\pi}{4} — t\right) = \cos\left(-\left(t — \frac{\pi}{4}\right)\right) = \cos\left(t — \frac{\pi}{4}\right)$$

(так как $\cos(-x) = \cos x$)

Итак:

$$\sqrt{2} \sin\left(t — \frac{\pi}{4}\right) + \sqrt{34} \cos\left(t — \frac{\pi}{4}\right)$$

Шаг 3: Преобразуем сумму синуса и косинуса одного угла

Пусть:

$$\sqrt{2} \sin A + \sqrt{34} \cos A = R \sin(A + \alpha)$$

где $A = t — \frac{\pi}{4}$

Находим:

$$R = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{34})^2} = \sqrt{2 + 34} = \sqrt{36} = 6$$

Теперь:

$$\sin \alpha = \frac{\sqrt{34}}{6}$$

Значит:

$$\sqrt{2} \sin\left(t — \frac{\pi}{4}\right) + \sqrt{34} \cos\left(t — \frac{\pi}{4}\right) = 6 \sin\left(t — \frac{\pi}{4} + \arcsin\frac{\sqrt{34}}{6}\right)$$

Ответ:

$$6 \sin\left(t — \frac{\pi}{4} + \arcsin\frac{\sqrt{34}}{6}\right)$$