ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 30.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а)

$$\frac{\sin {38}^{\circ }-\cos {38}^{\circ }}{\sqrt{2}\sin 7^{\circ }}$$

б)

$$\frac{\sin {377}^{\circ }-\sqrt{3}\cos {17}^{\circ }}{\cos {407}^{\circ }}$$

в)

$$\frac{\sin {17}^{\circ }+\sqrt{3}\cos {17}^{\circ }}{2\cos {347}^{\circ }}$$

г)

$$\frac{\sin {752}^{\circ }+\cos {328}^{\circ }}{\sqrt{2}\sin {437}^{\circ }}$$

а)

$$\frac{\sin 38^\circ — \cos 38^\circ}{\sqrt{2} \sin 7^\circ} = \frac{\sqrt{1+1} \sin \left( 38^\circ — \arcsin \frac{1}{\sqrt{1+1}} \right)}{\sqrt{2} \sin 7^\circ} =$$ $$= \frac{\sqrt{2} \sin \left( 38^\circ — \arcsin \frac{1}{\sqrt{2}} \right)}{\sqrt{2} \sin 7^\circ} = \frac{\sin (38^\circ — 45^\circ)}{\sin 7^\circ} = \frac{-\sin 7^\circ}{\sin 7^\circ} = -1;$$

Ответ: $-1$.

б)

$$\frac{\sin 377^\circ — \sqrt{3} \cos 17^\circ}{\cos 407^\circ} = \frac{\sin 17^\circ — \sqrt{3} \cos 17^\circ}{\cos 47^\circ} =$$ $$= \frac{-\sqrt{1+3} \cos \left( 17^\circ + \arcsin \frac{1}{\sqrt{1+3}} \right)}{\cos 47^\circ} = \frac{-2 \cos \left( 17^\circ + \arcsin \frac{1}{2} \right)}{\cos 47^\circ} =$$ $$= \frac{-2 \cos (17^\circ + 30^\circ)}{\cos 47^\circ} = \frac{-2 \cos 47^\circ}{\cos 47^\circ} = -2;$$

Ответ: $-2$.

в)

$$\frac{\sin 17^\circ + \sqrt{3} \cos 17^\circ}{2 \cos 347^\circ} = \frac{\sqrt{1+3} \cos \left( 17^\circ — \arcsin \frac{1}{\sqrt{1+3}} \right)}{2 \cos (-13^\circ)} =$$ $$= \frac{2 \cos \left( 17^\circ — \arcsin \frac{1}{2} \right)}{2 \cos (-13^\circ)} = \frac{\cos (17^\circ — 30^\circ)}{\cos (-13^\circ)} = \frac{\cos (-13^\circ)}{\cos (-13^\circ)} = 1;$$

Ответ: $1$.

г)

$$\frac{\sin 752^\circ + \cos 328^\circ}{\sqrt{2} \sin 437^\circ} = \frac{\sin 32^\circ + \cos 32^\circ}{\sqrt{2} \sin 77^\circ} =$$ $$= \frac{\sqrt{1+1} \sin \left( 32^\circ + \arcsin \frac{1}{\sqrt{1+1}} \right)}{\sqrt{2} \sin 77^\circ} = \frac{\sqrt{2} \sin \left( 32^\circ + \arcsin \frac{1}{\sqrt{2}} \right)}{\sqrt{2} \sin 77^\circ} =$$ $$= \frac{\sin (32^\circ + 45^\circ)}{\sin 77^\circ} = \frac{\sin 77^\circ}{\sin 77^\circ} = 1;$$

Ответ: $1$.

а)

$$\frac{\sin 38^\circ — \cos 38^\circ}{\sqrt{2} \sin 7^\circ}$$

Шаг 1. Заметим форму числителя.

$$\sin \alpha — \cos \alpha = \sqrt{2} \cdot \sin\left(\alpha — 45^\circ\right)$$

(Это стандартная формула представления суммы/разности синуса и косинуса через синус разности углов с коэффициентом).

Проверим:

$$\sin \alpha — \cos \alpha = \sqrt{2} \cdot \sin\left(\alpha — 45^\circ\right) \quad \text{где } \sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

В нашем случае $\alpha = 38^\circ$. Тогда:

$$\sin 38^\circ — \cos 38^\circ = \sqrt{2} \cdot \sin(38^\circ — 45^\circ) = \sqrt{2} \cdot \sin(-7^\circ)$$

Шаг 2. Подставим это в исходную дробь:

$$\frac{\sin 38^\circ — \cos 38^\circ}{\sqrt{2} \sin 7^\circ} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sin(-7^\circ)}{\sqrt{2} \sin 7^\circ}$$

Шаг 3. Сократим $\sqrt{2}$:

$$= \frac{\sin(-7^\circ)}{\sin 7^\circ}$$

Шаг 4. Используем нечетность синуса:

$$\sin(-x) = -\sin x \Rightarrow \frac{-\sin 7^\circ}{\sin 7^\circ} = -1$$

Ответ: $-1$

б)

$$\frac{\sin 377^\circ — \sqrt{3} \cos 17^\circ}{\cos 407^\circ}$$

Шаг 1. Приведем углы к промежутку $[0^\circ; 360^\circ]$:

• $\sin 377^\circ = \sin(377^\circ — 360^\circ) = \sin 17^\circ$
• $\cos 407^\circ = \cos(407^\circ — 360^\circ) = \cos 47^\circ$

Подставим:

$$\frac{\sin 17^\circ — \sqrt{3} \cos 17^\circ}{\cos 47^\circ}$$

Шаг 2. В числителе — выражение вида:

$$a \sin x + b \cos x = R \cos(x — \phi)$$

Здесь $a = 1$, $b = -\sqrt{3}$. Найдем:

• $R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$
• $\sin \phi = \frac{a}{R} = \frac{1}{2} \Rightarrow \phi = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = 30^\circ$

Так как $b = -\sqrt{3}$, знак у косинуса отрицательный, значит используем формулу с косинусом суммы:

$$\sin 17^\circ — \sqrt{3} \cos 17^\circ = -2 \cos(17^\circ + 30^\circ) = -2 \cos 47^\circ$$

Шаг 3. Подставим в дробь:

$$\frac{-2 \cos 47^\circ}{\cos 47^\circ} = -2$$

Ответ: $-2$

в)

$$\frac{\sin 17^\circ + \sqrt{3} \cos 17^\circ}{2 \cos 347^\circ}$$

Шаг 1. Приведем угол в знаменателе:

• $\cos 347^\circ = \cos(-13^\circ)$ (так как $347^\circ = 360^\circ — 13^\circ$)

Шаг 2. Числитель: снова сумма синуса и косинуса.

$$\sin 17^\circ + \sqrt{3} \cos 17^\circ$$

Аналогично, представим:

• $a = 1$, $b = \sqrt{3}$
• $R = \sqrt{1^2 + 3} = 2$
• $\sin \phi = \frac{1}{2} \Rightarrow \phi = 30^\circ$

Так как оба коэффициента положительные, используется:

$$a \sin x + b \cos x = R \cos(x — \phi) \Rightarrow \sin 17^\circ + \sqrt{3} \cos 17^\circ = 2 \cos(17^\circ — 30^\circ) = 2 \cos(-13^\circ)$$

Шаг 3. Подставим в дробь:

$$\frac{2 \cos(-13^\circ)}{2 \cos(-13^\circ)} = 1$$

Ответ: $1$

г)

$$\frac{\sin 752^\circ + \cos 328^\circ}{\sqrt{2} \sin 437^\circ}$$

Шаг 1. Приведем углы:

• $\sin 752^\circ = \sin(752^\circ — 2\cdot360^\circ) = \sin 32^\circ$
• $\cos 328^\circ$ — уже в пределах круга
• $\sin 437^\circ = \sin(437^\circ — 360^\circ) = \sin 77^\circ$

Значит, выражение:

$$\frac{\sin 32^\circ + \cos 32^\circ}{\sqrt{2} \sin 77^\circ}$$

Шаг 2. Числитель снова — стандартная форма:

$$\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2} \cdot \sin(\alpha + 45^\circ)$$

Проверим:

• $\alpha = 32^\circ$

$$\sin 32^\circ + \cos 32^\circ = \sqrt{2} \cdot \sin(32^\circ + 45^\circ) = \sqrt{2} \cdot \sin 77^\circ$$

Шаг 3. Подставим:

$$\frac{\sqrt{2} \cdot \sin 77^\circ}{\sqrt{2} \cdot \sin 77^\circ} = 1$$

Ответ: $1$