ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 30.7 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите область значений функции:

а) $y=3\sin 2x-4\cos 2x$

б) $y=5\cos 3x+12\sin 3x$

в) $y=7\sin \frac{x}{2}+24\cos \frac{x}{2}$

г) $y=8\cos \frac{x}{3}-15\sin \frac{x}{3}$

Найти область значений функции:

а) $y = 3 \sin 2x — 4 \cos 2x = \sqrt{9 + 16} \sin(2x — t) = 5 \sin(2x — t)$;

Множество значений функции:

$$-1 \leq \sin(2x — t) \leq 1;$$ $$-5 \leq 5 \sin(2x — t) \leq 5;$$

Ответ: $y \in [-5; 5]$.

б) $y = 5 \cos 3x + 12 \sin 3x = \sqrt{25 + 144} \sin(3x + t) = 13 \sin(3x + t)$;

Множество значений функции:

$$-1 \leq \sin(3x + t) \leq 1;$$ $$-13 \leq 13 \sin(3x + t) \leq 13;$$

Ответ: $y \in [-13; 13]$.

в) $y = 7 \sin \frac{x}{2} + 24 \cos \frac{x}{2} = \sqrt{49 + 576} \sin\left(\frac{x}{2} + t\right) = 25 \sin\left(\frac{x}{2} + t\right)$;

Множество значений функции:

$$-1 \leq \sin\left(\frac{x}{2} + t\right) \leq 1;$$ $$-25 \leq 25 \sin\left(\frac{x}{2} + t\right) \leq 25;$$

Ответ: $y \in [-25; 25]$.

г) $y = 8 \cos \frac{x}{3} — 15 \sin \frac{x}{3} = -\sqrt{64 + 225} \sin\left(\frac{x}{3} — t\right) = -17 \sin\left(\frac{x}{3} — t\right)$;

Множество значений функции:

$$-1 \leq -\sin\left(\frac{x}{3} — t\right) \leq 1;$$ $$-17 \leq -17 \sin\left(\frac{x}{3} — t\right) \leq 17;$$

Ответ: $y \in [-17; 17]$.

Наша цель — найти область значений функции вида

$$y = a \sin(kx) + b \cos(kx),$$

путём приведения к выражению

$$y = R \sin(kx + \varphi),$$

где:

• $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ — амплитуда (максимальное отклонение),
• $\varphi$ — фазовый сдвиг, не важен для нахождения области значений, но используется в преобразовании.

а) $y = 3 \sin 2x — 4 \cos 2x$

Шаг 1: Распознать структуру

Это линейная комбинация синуса и косинуса:

$$y = a \sin(2x) + b \cos(2x), \quad \text{где } a = 3, \, b = -4$$

Шаг 2: Найти амплитуду

$$R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Шаг 3: Преобразовать

$$y = 3 \sin 2x — 4 \cos 2x = 5 \sin(2x — t), \quad \text{где } t = \arcsin\left(\frac{-4}{5}\right)$$

Мы не вычисляем $t$, так как нас интересует только амплитуда.

Шаг 4: Область значений

Так как $-1 \leq \sin(\cdot) \leq 1$, то:

$$-5 \leq y \leq 5$$

Ответ: $\boxed{y \in [-5; 5]}$

б) $y = 5 \cos 3x + 12 \sin 3x$

Шаг 1: Приведём к нужному виду

Поменяем местами:

$$y = 12 \sin 3x + 5 \cos 3x$$

Шаг 2: Распознать коэффициенты

• $a = 12$
• $b = 5$

$$R = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$$

Шаг 3: Преобразование

$$y = 13 \sin(3x + t)$$

Шаг 4: Область значений

$$-13 \leq y \leq 13$$

Ответ: $\boxed{y \in [-13; 13]}$

в) $y = 7 \sin \frac{x}{2} + 24 \cos \frac{x}{2}$

Шаг 1: Коэффициенты

• $a = 7$
• $b = 24$

$$R = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$$

Шаг 2: Преобразуем

$$y = 25 \sin\left( \frac{x}{2} + t \right)$$

Шаг 3: Область значений

$$-25 \leq y \leq 25$$

Ответ: $\boxed{y \in [-25; 25]}$

г) $y = 8 \cos \frac{x}{3} — 15 \sin \frac{x}{3}$

Шаг 1: Приведём к виду $a \sin x + b \cos x$

Запишем:

$$y = -15 \sin \frac{x}{3} + 8 \cos \frac{x}{3}$$

Шаг 2: Коэффициенты

• $a = -15$
• $b = 8$

$$R = \sqrt{(-15)^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$$

Шаг 3: Преобразуем

$$y = 17 \sin\left( \frac{x}{3} + t \right) \quad \text{или} \quad y = -17 \sin\left( \frac{x}{3} — t \right)$$

Знак минус перед синусом не влияет на область значений.

Шаг 4: Область значений

$$-17 \leq y \leq 17$$

Ответ: $\boxed{y \in [-17; 17]}$