ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.12 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $4 \cos^3 \frac{x}{2} + 3\sqrt{2} \sin x = 8 \cos \frac{x}{2};$

б) $\frac{7}{4}\cos \frac{x}{4}={\cos }^3\frac{x}{4}+\sin \frac{x}{2}$$$

а) $4 \cos^3 \frac{x}{2} + 3\sqrt{2} \sin x = 8 \cos \frac{x}{2};$
$\mathrm{}$$4 \cos^3 \frac{x}{2} + 6\sqrt{2} \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} — 8 \cos \frac{x}{2} = 0;$
$2 \cos \frac{x}{2} \left( 2 \cos^2 \frac{x}{2} + 3\sqrt{2} \sin \frac{x}{2} — 4 \right) = 0;$
$\cos \frac{x}{2} \left( 2 — 2 \sin^2 \frac{x}{2} + 3\sqrt{2} \sin \frac{x}{2} — 4 \right) = 0;$

Пусть $y = \sin \frac{x}{2}$, тогда:
$2 — 2y^2 + 3\sqrt{2}y — 4 = 0;$
$2y^2 — 3\sqrt{2}y + 2 = 0;$
$D = (3\sqrt{2})^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 18 — 16 = 2, \text{ тогда: }$
$y_1 = \frac{3\sqrt{2} — \sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2};$
$y_2 = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{4\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2};$

Первое уравнение:
$\sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2};$
$\frac{x}{2} = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n;$
$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$

Второе уравнение:
$\sin \frac{x}{2} = \sqrt{2} — \text{корней нет; }$

Одно из решений:
$\cos \frac{x}{2} = 0;$
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n;$
$x = \pi + 2\pi n;$

Ответ: $(-1{)}^n\cdot \frac{\pi }{2}+2\pi n;\pi +2\pi n\mathrm{.}$

б) $\frac{7}{4} \cos \frac{x}{4} = \cos^3 \frac{x}{4} + \sin \frac{x}{2};$

$\cos^3 \frac{x}{4} + 2 \sin \frac{x}{4} \cdot \cos \frac{x}{4} — \frac{7}{4} \cos \frac{x}{4} = 0;$
$\frac{1}{4} \cos \frac{x}{4} \left( 4 \cos^2 \frac{x}{4} + 8 \sin \frac{x}{4} — 7 \right) = 0;$
$\frac{1}{4} \cos \frac{x}{4} \left( 4 — 4 \sin^2 \frac{x}{4} + 8 \sin \frac{x}{4} — 7 \right) = 0;$

Пусть $y = \sin \frac{x}{4}$, тогда:
$4 — 4y^2 + 8y — 7 = 0;$
$4y^2 — 8y + 3 = 0;$
$D = 8^2 — 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 — 48 = 16, \text{ тогда: }$
$y_1 = \frac{8 — 4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2};$
$y_2 = \frac{8 + 4}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2};$

Первое уравнение:
$\sin \frac{x}{4} = \frac{1}{2};$
$\frac{x}{4} = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$
$x = (-1)^n \cdot \frac{2\pi}{3} + 4\pi n;$

Второе уравнение:
$\sin \frac{x}{4} = \frac{3}{2} — \text{корней нет; }$

Одно из решений:
$\cos \frac{x}{4} = 0;$
$\frac{x}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n;$
$x = 2\pi + 4\pi n;$

Ответ: $(-1{)}^n\cdot \frac{2\pi }{3}+4\pi n;2\pi +4\pi n\mathrm{.}$

а)

Рассмотрим уравнение:

$$4 \cos^3 \frac{x}{2} + 3\sqrt{2} \sin x = 8 \cos \frac{x}{2}$$

Шаг 1. Раскроем $\sin x$ через $\sin \frac{x}{2}$ и $\cos \frac{x}{2}$

Формула двойного угла:

$$\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$$

Подставим в исходное уравнение:

$$4 \cos^3 \frac{x}{2} + 3\sqrt{2} \cdot 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = 8 \cos \frac{x}{2}$$ $$4 \cos^3 \frac{x}{2} + 6\sqrt{2} \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = 8 \cos \frac{x}{2}$$

Шаг 2. Переносим всё в левую часть:

$$4 \cos^3 \frac{x}{2} + 6\sqrt{2} \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} — 8 \cos \frac{x}{2} = 0$$

Шаг 3. Вынесем $\cos \frac{x}{2}$ за скобку:

$$\cos \frac{x}{2} \left(4 \cos^2 \frac{x}{2} + 6\sqrt{2} \sin \frac{x}{2} — 8\right) = 0$$

или, делим 4 на 2:

$$2 \cos \frac{x}{2} \left(2 \cos^2 \frac{x}{2} + 3\sqrt{2} \sin \frac{x}{2} — 4 \right) = 0$$

Шаг 4. Решаем произведение:

$$2 \cos \frac{x}{2} \left(2 \cos^2 \frac{x}{2} + 3\sqrt{2} \sin \frac{x}{2} — 4\right) = 0$$

Это произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

1. $\cos \frac{x}{2} = 0$
2. $2 \cos^2 \frac{x}{2} + 3\sqrt{2} \sin \frac{x}{2} — 4 = 0$

Случай 1: $\cos \frac{x}{2} = 0$

Решим:

$$\cos \frac{x}{2} = 0 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ $$x = \pi + 2\pi n$$

Это одно семейство решений.

Случай 2:

$$2 \cos^2 \frac{x}{2} + 3\sqrt{2} \sin \frac{x}{2} — 4 = 0$$

Применим формулу:

$$\cos^2 \frac{x}{2} = 1 — \sin^2 \frac{x}{2}$$

Подставим:

$$2(1 — \sin^2 \frac{x}{2}) + 3\sqrt{2} \sin \frac{x}{2} — 4 = 0$$

Раскроем скобки:

$$2 — 2 \sin^2 \frac{x}{2} + 3\sqrt{2} \sin \frac{x}{2} — 4 = 0$$

Упростим:

$$-2 \sin^2 \frac{x}{2} + 3\sqrt{2} \sin \frac{x}{2} — 2 = 0$$

Умножим на $-1$ для удобства:

$$2 \sin^2 \frac{x}{2} — 3\sqrt{2} \sin \frac{x}{2} + 2 = 0$$

Шаг 5. Подстановка: $y = \sin \frac{x}{2}$

Уравнение:

$$2y^2 — 3\sqrt{2}y + 2 = 0$$

Шаг 6. Решаем квадратное уравнение

$$D = (3\sqrt{2})^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 18 — 16 = 2$$ $$y_{1,2} = \frac{3\sqrt{2} \pm \sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{(3 \pm 1)\sqrt{2}}{4}$$

То есть:

• $y_1 = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• $y_2 = \frac{4\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2}$

Шаг 7. Проверим допустимость корней

1. $\sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \in [-1; 1]$ — принимается
2. $\sin \frac{x}{2} = \sqrt{2} > 1$ — неприемлемо

Шаг 8. Решаем $\sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$$\frac{x}{2} = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$$ $$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Второе семейство решений.

Ответ к пункту (а):

$$\boxed{x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \quad x = \pi + 2\pi n}$$

б)

Рассмотрим:

$$\frac{7}{4} \cos \frac{x}{4} = \cos^3 \frac{x}{4} + \sin \frac{x}{2}$$

Шаг 1. Раскроем $\sin \frac{x}{2}$ через $\sin \frac{x}{4}, \cos \frac{x}{4}$

Формула двойного угла:

$$\sin \frac{x}{2} = 2 \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{4}$$

Подставим:

$$\frac{7}{4} \cos \frac{x}{4} = \cos^3 \frac{x}{4} + 2 \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{4}$$

Шаг 2. Перенесём всё в одну часть

$$\cos^3 \frac{x}{4} + 2 \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{4} — \frac{7}{4} \cos \frac{x}{4} = 0$$

Шаг 3. Вынесем $\cos \frac{x}{4}$:

$$\cos \frac{x}{4} \left(\cos^2 \frac{x}{4} + 2 \sin \frac{x}{4} — \frac{7}{4}\right) = 0$$

Домножим на 1/4:

$$\frac{1}{4} \cos \frac{x}{4} \left(4 \cos^2 \frac{x}{4} + 8 \sin \frac{x}{4} — 7\right) = 0$$

Шаг 4. Выражаем $\cos^2 \frac{x}{4} = 1 — \sin^2 \frac{x}{4}$

$$\frac{1}{4} \cos \frac{x}{4} \left(4 — 4 \sin^2 \frac{x}{4} + 8 \sin \frac{x}{4} — 7\right) = 0$$ $$\frac{1}{4} \cos \frac{x}{4} \left(-4 \sin^2 \frac{x}{4} + 8 \sin \frac{x}{4} — 3\right) = 0$$

Шаг 5. Обозначим $y = \sin \frac{x}{4}$

$$-4y^2 + 8y — 3 = 0 \Rightarrow 4y^2 — 8y + 3 = 0$$

Шаг 6. Решаем квадратное уравнение

$$D = (-8)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 — 48 = 16$$ $$y_{1,2} = \frac{8 \pm 4}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}, \quad \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$

Шаг 7. Анализ корней:

• $\sin \frac{x}{4} = \frac{1}{2} \in [-1;1]$ — подходит
• $\sin \frac{x}{4} = \frac{3}{2} \notin [-1;1]$ — исключаем

Шаг 8. Решаем $\sin \frac{x}{4} = \frac{1}{2}$

$$\frac{x}{4} = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$ $$x = (-1)^n \cdot \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$$

Первое семейство решений.

Шаг 9. Второе уравнение: $\cos \frac{x}{4} = 0$

$$\frac{x}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = 2\pi + 4\pi n$$

Второе семейство решений.

Ответ к пункту (б):

$$\boxed{x = (-1)^n \cdot \frac{2\pi}{3} + 4\pi n; \quad x = 2\pi + 4\pi n}$$