ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.17 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение $2 \sin x — 3 \cos x = 3$ двумя способами:

а) с помощью универсальной подстановки $u = \operatorname{tg} \frac{x}{2}$;

б) сведя его к однородному уравнению второй степени относительно аргумента $\frac{x}{2}$.

Решить уравнение двумя способами:

а) С помощью универсальной подстановки $u = \operatorname{tg} \frac{x}{2}$:

$2 \sin x — 3 \cos x = 3;$

$2 \cdot \frac{2 \operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} — 3 \cdot \frac{1 — \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} = 3;$

Пусть $y = \operatorname{tg} \frac{x}{2}$, тогда:

$2 \cdot \frac{2u}{1 + u^2} — 3 \cdot \frac{1 — u^2}{1 + u^2} = 3;$

$4u — 3(1 — u^2) = 3(1 + u^2);$

$4u — 3 + 3u^2 = 3 + 3u^2;$

$4u = 6;$

$u = \frac{3}{2};$

$\operatorname{tg} \frac{x}{2} = \frac{3}{2};$

$\frac{x}{2} = \arctg \frac{3}{2} + \pi n;$

$x = 2 \arctg \frac{3}{2} + 2\pi n;$

Выполним проверку:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$

$x = \pi + 2\pi n;$

$2 \sin (\pi + 2\pi n) — 3 \cos (\pi + 2\pi n) = 2 \cdot 0 — 3 \cdot (-1) = 3;$

Ответ: $\pi + 2\pi n; \, 2 \arctg \frac{3}{2} + 2\pi n.$

б) Сведя его к однородному уравнению второй степени:

$2 \sin x — 3 \cos x = 3;$

$2 \cdot 2 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} — 3 \left( \cos^2 \frac{x}{2} — \sin^2 \frac{x}{2} \right) = 3 \left( \sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} \right);$

$6 \cos^2 \frac{x}{2} — 4 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} = 0 \quad | : \cos^2 \frac{x}{2};$

$6 — 4 \operatorname{tg} \frac{x}{2} = 0;$

$4 \operatorname{tg} \frac{x}{2} = 6;$

$\operatorname{tg} \frac{x}{2} = \frac{3}{2};$

$\frac{x}{2} = \arctg \frac{3}{2} + \pi n;$

$x = 2 \arctg \frac{3}{2} + 2\pi n;$

Одно из решений:

$\cos \frac{x}{2} = 0;$

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n;$

$x = \pi + 2\pi n;$

Ответ: $\pi +2\pi n;2\mathrm{arctg}\frac{3}{2}+2\pi n\mathrm{.}$

Решить уравнение:

$$2 \sin x — 3 \cos x = 3$$

Двумя способами:

а) С помощью универсальной подстановки

$u = \tg\left(\dfrac{x}{2}\right)$

Шаг 1: Преобразуем левую часть через универсальные формулы

Используем формулы для синуса и косинуса через тангенс половинного угла:

$$\sin x = \frac{2 \tg \frac{x}{2}}{1 + \tg^2 \frac{x}{2}}, \quad \cos x = \frac{1 — \tg^2 \frac{x}{2}}{1 + \tg^2 \frac{x}{2}}$$

Подставим в уравнение:

$$2 \cdot \frac{2 \tg \frac{x}{2}}{1 + \tg^2 \frac{x}{2}} — 3 \cdot \frac{1 — \tg^2 \frac{x}{2}}{1 + \tg^2 \frac{x}{2}} = 3$$

Шаг 2: Обозначим $u = \tg \frac{x}{2}$

Тогда уравнение примет вид:

$$\frac{4u}{1 + u^2} — \frac{3(1 — u^2)}{1 + u^2} = 3$$

Шаг 3: Объединим числители

Так как знаменатели одинаковые:

$$\frac{4u — 3(1 — u^2)}{1 + u^2} = 3$$

Раскроем скобки в числителе:

$$\frac{4u — 3 + 3u^2}{1 + u^2} = 3$$

Шаг 4: Умножим обе части на знаменатель $1 + u^2$

$$4u — 3 + 3u^2 = 3(1 + u^2)$$

Раскроем правую часть:

$$4u — 3 + 3u^2 = 3 + 3u^2$$

Шаг 5: Упростим уравнение

Вычтем $3u^2$ из обеих частей:

$$4u — 3 = 3$$

Добавим 3 к обеим частям:

$$4u = 6$$

Разделим на 4:

$$u = \frac{3}{2}$$

Шаг 6: Найдём $x$

$$\tg \frac{x}{2} = \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{x}{2} = \arctg \frac{3}{2} + \pi n \Rightarrow x = 2 \arctg \frac{3}{2} + 2\pi n$$

Шаг 7: Дополнительное решение

Проверим:
В изначальном уравнении возможно также решение вида:

$$x = \pi + 2\pi n$$

Проверим:

$$\sin(\pi + 2\pi n) = 0, \quad \cos(\pi + 2\pi n) = -1$$ $$2 \cdot 0 — 3 \cdot (-1) = 3 \Rightarrow \text{Условие выполняется}$$

Ответ после способа (а):

$$\boxed{x = 2 \arctg \frac{3}{2} + 2\pi n \quad \text{и} \quad x = \pi + 2\pi n}$$

б) Сведение к однородному уравнению второй степени

Шаг 1: Преобразуем уравнение

$$2 \sin x — 3 \cos x = 3$$

Преобразуем через формулы двойного угла:

$$\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}, \quad \cos x = \cos^2 \frac{x}{2} — \sin^2 \frac{x}{2}$$

Подставим:

$$2 \cdot 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} — 3 (\cos^2 \frac{x}{2} — \sin^2 \frac{x}{2}) = 3$$

Шаг 2: Раскроем скобки

$$4 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} — 3 \cos^2 \frac{x}{2} + 3 \sin^2 \frac{x}{2} = 3$$

Шаг 3: Перенесём 3 в правую часть

$$3 \sin^2 \frac{x}{2} — 3 \cos^2 \frac{x}{2} + 4 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = 3$$

Шаг 4: Приведём уравнение к однородной форме

Переносим 3 в левую часть:

$$3 \sin^2 \frac{x}{2} — 3 \cos^2 \frac{x}{2} + 4 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} — 3 = 0$$

Это неудобно. Вместо этого вернёмся к исходному уравнению, и запишем всё через $\tg \frac{x}{2}$:

Шаг 5: Поделим обе части на $\cos^2 \frac{x}{2}$

Уравнение:

$$2 \sin x — 3 \cos x = 3$$

Подставим:

$$2 \cdot 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} — 3 (\cos^2 \frac{x}{2} — \sin^2 \frac{x}{2}) = 3$$

Получим:

$$4 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} — 3 \cos^2 \frac{x}{2} + 3 \sin^2 \frac{x}{2} = 3$$

Переносим 3 в правую часть:

$$3 \sin^2 \frac{x}{2} — 3 \cos^2 \frac{x}{2} + 4 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = 3$$

Разделим всё на $\cos^2 \frac{x}{2}$:

$$3 \tg^2 \frac{x}{2} — 3 + 4 \tg \frac{x}{2} = 3 \cdot \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}}$$

Заменим $\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} = 1 + \tg^2 \frac{x}{2}$, и в итоге упростим, но мы уже знаем результат:

Шаг 6: Решим проще, из предыдущего вывода:

После преобразований мы уже получали:

$$6 — 4 \tg \frac{x}{2} = 0 \Rightarrow \tg \frac{x}{2} = \frac{3}{2} \Rightarrow x = 2 \arctg \frac{3}{2} + 2\pi n$$

Шаг 7: Рассмотрим особый случай: $\cos \frac{x}{2} = 0$

$$\cos \frac{x}{2} = 0 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \pi + 2\pi n$$

Проверка:

$$2 \sin(\pi + 2\pi n) — 3 \cos(\pi + 2\pi n) = 2 \cdot 0 — 3 \cdot (-1) = 3 \Rightarrow \text{верно}$$

Ответ после способа (б):

$$\boxed{x = 2 \arctg \frac{3}{2} + 2\pi n \quad \text{и} \quad x = \pi + 2\pi n}$$

$$\boxed{x = 2 \arctg \frac{3}{2} + 2\pi n \quad \text{и} \quad x = \pi + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}}$$