ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.23 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

a)

$$\cos \frac{4x}{3}={\cos }^{2}x;$$

б)

$$32{\cos }^{6}x-\cos 6x=1$$

a)

$$\cos \frac{4x}{3}={\cos }^{2}x;$$$$2\cos \frac{4x}{3}=2{\cos }^{2}x;$$$$2({\cos }^2\frac{2x}{3}-{\sin }^2\frac{2x}{3})=({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)+({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x);$$$$2({\cos }^2\frac{2x}{3}-(1-{\cos }^2\frac{2x}{3}))=1+\cos 2x;$$$$2(2{\cos }^2\frac{2x}{3}-1)=1+\cos (3\cdot \frac{2x}{3});$$$$4{\cos }^2\frac{2x}{3}-2=1+(4{\cos }^3\frac{2x}{3}-3\cos \frac{2x}{3});$$

Пусть $y=\cos \frac{2x}{3}$, тогда:

$$4y^2-2=1+(4y^3-3y);$$$$4y^2-4y^3-3+3y=0;$$$$4y^2(1-y)-3(1-y)=0;$$$$(4y^2-3)(1-y)=0;$$

Первое уравнение:

$$4{\cos }^2\frac{2x}{3}-3=0;$$$${\cos }^2\frac{2x}{3}=\frac{3}{4};$$$$\frac{1+\cos \frac{4x}{3}}{2}=\frac{3}{4};$$$$1+\cos \frac{4x}{3}=\frac{3}{2};$$

Второе уравнение:

$$1-\cos \frac{2x}{3}=0;$$$$\cos \frac{2x}{3}=1;$$$$\frac{2x}{3}=2\pi n;$$$$x=3\pi n;$$

Ответ: $\pm \frac{\pi }{4}+\frac{3\pi n}{2};3\pi n$.

б)

$$32{\cos }^{6}x-\cos 6x=1;$$$$32{\left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)}^3-(4{\cos }^{3}2x-3\cos 2x)=1;$$$$4(1+\cos 2x{)}^3-4{\cos }^{3}2x+3\cos 2x=1;$$

Пусть $y=\cos 2x$, тогда:

$$4(1+y{)}^3-3y=1;$$$$4(1+3y+3y^2+y^3)-4y^3+3y=1;$$$$4+12y+12y^2+4y^3-4y^3+3y-1=0;$$$$12y^2+15y+3=0;$$

$$D={15}^2-4\cdot 12\cdot 3=225-144=81;$$

тогда:

$$y_1=\frac{-15-9}{2\cdot 12}=\frac{-24}{24}=-1;$$$$y_2=\frac{-15+9}{2\cdot 12}=\frac{-6}{24}=-\frac{1}{4};$$

Первое значение:

$$\cos 2x=-1;$$$$2x=\pi +2\pi n;$$$$x=\frac{\pi }{2}+\pi n;$$

Второе значение:

$$\cos 2x=-\frac{1}{4};$$$$2x=\pm \arccos (-\frac{1}{4})+2\pi n;$$$$x=\pm \frac{1}{2}\arccos (-\frac{1}{4})+\pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi }{2}+\pi n;\pm \frac{1}{2}\arccos (-\frac{1}{4})+\pi n$.

а)

Дано уравнение:

$$\cos \frac{4x}{3}={\cos }^{2}x$$

Шаг 1: Преобразуем правую часть

Используем тождество:

$${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}\Rightarrow 2{\cos }^{2}x=1+\cos 2x$$

Домножим обе части уравнения на 2:

$$2\cos \frac{4x}{3}=2{\cos }^{2}x=1+\cos 2x$$

Шаг 2: Используем формулу двойного угла слева

$$\cos \frac{4x}{3}=\cos (2\cdot \frac{2x}{3})=2{\cos }^2\frac{2x}{3}-1\Rightarrow 2\cos \frac{4x}{3}=2(2{\cos }^2\frac{2x}{3}-1)=4{\cos }^2\frac{2x}{3}-2$$

Теперь правая часть:

$$1+\cos 2x=1+\cos (2x)$$

Используем формулу тройного угла в обратную сторону:

$$\cos 2x=\cos (3\cdot \frac{2x}{3})=4{\cos }^3\frac{2x}{3}-3\cos \frac{2x}{3}$$

Значит:

$$1+\cos 2x=1+(4y^3-3y),\text{где }y=\cos \frac{2x}{3}$$

Шаг 3: Сравним обе части уравнения

$$4{\cos }^2\frac{2x}{3}-2=1+(4{\cos }^3\frac{2x}{3}-3\cos \frac{2x}{3})$$

Подставим $y=\cos \frac{2x}{3}$:

$$4y^2-2=1+(4y^3-3y)$$

Приведем всё к одной стороне:

$$4y^2-2-1-4y^3+3y=0\Rightarrow -4y^3+4y^2+3y-3=0$$

Шаг 4: Группируем и упрощаем

$$4y^2(1-y)-3(1-y)=0\Rightarrow (4y^2-3)(1-y)=0$$

Решения:

• $4y^2-3=0\Rightarrow y^2=\frac{3}{4}\Rightarrow y=\pm \sqrt{\frac{3}{4}}=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $1-y=0\Rightarrow y=1$

Шаг 5: Возвращаемся к переменной $x$

Первый случай: $y=\cos \frac{2x}{3}=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Используем:

$$\cos \frac{2x}{3}=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \frac{2x}{3}=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi n\Rightarrow x=\pm \frac{3\pi }{12}+3\pi n=\pm \frac{\pi }{4}+\frac{3\pi n}{2}$$

Второй случай: $\cos \frac{2x}{3}=1\Rightarrow \frac{2x}{3}=2\pi n\Rightarrow x=3\pi n$

Ответ к части (а):

$$x=\pm \frac{\pi }{4}+\frac{3\pi n}{2};x=3\pi n$$

б)

Дано уравнение:

$$32{\cos }^{6}x-\cos 6x=1$$

Шаг 1: Упрощаем ${\cos }^{6}x$ через $\cos 2x$

$${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}\Rightarrow {\cos }^{6}x={\left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)}^3$$

Подставим в уравнение:

$$32{\left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)}^3-\cos 6x=1\Rightarrow 4(1+\cos 2x{)}^3-\cos 6x=1$$

Шаг 2: Раскроем куб и упростим

Обозначим $y=\cos 2x$

Тогда:

$$(1+y{)}^3=1+3y+3y^2+y^3\Rightarrow 4(1+y{)}^3=4+12y+12y^2+4y^3$$

Используем формулу:

$$\cos 6x=4{\cos }^{3}2x-3\cos 2x=4y^3-3y$$

Подставим:

$$4(1+y{)}^3-(4y^3-3y)=1\Rightarrow 4+12y+12y^2+4y^3-4y^3+3y-1=0\Rightarrow$$

$$12y^2+15y+3=0$$

Шаг 3: Решим квадратное уравнение

$$12y^2+15y+3=0\Rightarrow D={15}^2-4\cdot 12\cdot 3=225-144=81$$

Найдем корни:

$$y_1=\frac{-15-9}{24}=-1,y_2=\frac{-15+9}{24}=-\frac{1}{4}$$

Шаг 4: Возвращаемся к $x$

1. $\cos 2x=-1\Rightarrow 2x=\pi +2\pi n\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+\pi n$

2. $\cos 2x=-\frac{1}{4}\Rightarrow 2x=\pm \arccos (-\frac{1}{4})+2\pi n\Rightarrow x=\pm \frac{1}{2}\arccos (-\frac{1}{4})+\pi n$

Ответ к части (б):

$$x=\frac{\pi }{2}+\pi n;x=\pm \frac{1}{2}\arccos (-\frac{1}{4})+\pi n$$